Problemas 3 junio 2013. JUAN. Geo-Combi.

Problema 1 (Geometría). Triángulo ABC. Incentro $\omega$ (con centro I) toca a BC en D. Altura AH, con H sobre BC.  Punto medio de AH es M. Perpendicular a DM por I intersecta a BC en K. Sea $\Omega$ el circuncírculo de ABC. Las tangentes desde K a $\omega$ lo tocan en $X_1, X_2$ y las tangentes desde K a $\Omega$ lo tocan en $Y_1, Y_2$. Muestra que $X_1X_2Y_1Y_2$ es cíclico.

Problema 2 (Combinatoria). Considero un cuadrado de $2^n*2^n$, y me tomo la diagonal que va del suroeste al noreste. Al conjunto de los cuadros abajo de esta diagonal le llamo $X_n$. Por ejemplo, $X_1$ es un cuadro, $X_2$ es una L con 3 cuadros, etcétera, ¿no?

A $X_n$ lo particiono (cubro) con rectángulos con una configuración $C$, tal que cada cuadrito quede cubierto exactamente una vez, y ningún punto afuera de $X_n$ quede cubierto. A la suma de los perímetros de éstos rectángulos le llamo $S_C$. Al mínimo valor posible de $S_C$ le llamo $\Omega_n$, ¿no?

Muestra que $2n | \Omega_n$ para todo $n$ natural.

Problema 3 (para Adán que ya vio todos) (Números). $k \ge 2$ natural fijo, $a_1=1$, y para $n \ge 2$, $a_n$ es la solución más pequeña (pero mayor a $a_{n-1}$) de la ecuación:

$x=1+\sum_{i=1}^{n-1}\lfloor (\frac{x}{a_i})^{1/k} \rfloor$.

Muestra que todo primo ocurre en la secuencia $a$.