Problema del Jueves

Hola a Todos

Este es un problema interesante, no se si tiene el nivel de una IMO, sin embargo puede mostrar sus habilidades de conteo.

Considera los ocho vértices de un octágono, denotados por -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4. Se traza el segmento que une el vértice 1 con el vértice 2, llamemosle 12. Nunca se puede considerar los segmentos  -11, -22, -33, -44.

Determinar el número de caminos de $n$ segmentos, donde $3 \leq n \leq 8$, tal que un camino esta formado por $n$ segmentos que satisfacen lo siguiente:
i)    los segmentos son cualquier segmento $ij$, que va del vertice $i$ al vertice $j$ (esto es lo mismo que el segmento $ji$)
ii) Los caminos empiezan en el vertice 1
iii) Los caminos siempre terminan con el segmento ya considerado 12 (o 21 que es el mismo segmento)