1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$. Las perpendiculares a $BI$ y $CI$ por $I$ cortan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. Sea $D$ el punto donde el incirculo de $ABC$ toca a $BC$ y $P$ el pie de la perpendicular de $I$ a $EF$. Sea $Q$ la intersección de $DE$ con $CP$. Muestra que $AQ$ es paralela a $BC$.
2. Se eligen diez enteros del conjunto $\{1, 2, 3, \dots 2009\}$. Muestra que existen tres distintos $a, b, c$ tales que $\text{mcd}(a, b)$ divide a $c$.
sábado, 20 de junio de 2015
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3 comentarios:
1. cuentas
2. mi solución esta bien horrible, consiste en encontrar dos numeros con gcd grande, ver que su razón es 14/15, luego fijarse en los mcds de esos dos numeros en específico con otros números, y hacer casitos al final con primos chicos para acabar
uso algo parecido al lema siguiente: "si n+1 números son menores o iguales a 2n, uno dividirá a otro".
con 13 numeros, no salen cuentas feas, así que aquí pongo mi solución en ese caso.
Notemos que si tomo todos los números del estilo $mcd(a,b)$, tengo 13*12/2 números, y si uno divide a otro, digamos $(a,b) | (c,d)$ o $(a,b) | (a,c)$ tengo $(a,b) | c$ y acabo. Entonces ninguno divide a ningún otro, y por el lema de arriba, hay alguno es mayor o igual a 13*12-2>150.
Digamos $(a,b)=g>150$, y $a=ga_1,b=gb_1$ con $(a_1,b_1)=1$.
Si alguno de mis 13 numeros $c$ es coprimo a $a_1$, entonces $(c,a)=(c,g) | g | b$ y acabo. Entonces ninguno es coprimo con $a_1$ ni con $b_1$. Si $a_1$ y $b_1$ ambos tuvieran dos primos, entonces uno sería mayor o igual a $2*7$ y $3*5$. Entonces Digamos $a_1 \ge 15$.
Entonces $a =ga \ge 15*150 = 2250 > 2009$, contradiccion
Entonces SPDG $a_1$ solo tiene un primo, y todos los numeros except quizá $b$ son divisibles por ese primo. Si divido TODO por ese primo excepto $b$, sale que tengo 13-1 numeros menores o iguales a 2009/2. Repitiendo el argumento, acabas fácil
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