1. En un planeta hay $3\times2005!$ aliens y $2005$ idiomas. Cada pareja de aliens se comunican entre ellos usando exactamente un lenguaje. Demuestra que hay $3$ aliens tales que cada pareja de ellos se comunica con un lenguaje común.
2. Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$. Un a línea que pasa por $B$ interseca a $C_1$ de nuevo en $K$ y a $C_2$ de nuevo en $M$. Una línea paralela a $AM$ es tangente al primer círculo en $Q$. La línea $AQ$ interseca a $C_2$ de nuevo en $R$.
$(a)$ Prueba que la tangente a $C_2$ en $R$ es paralela a $AK$.
$(b)$ Prueba que estas dos tangentes se intersecan en $KM$.
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2 comentarios:
1. Pruebas por inducción sobre $n$ que si tengo $3n!$ alienigenas y $n$ idiomas entonces hay un triángulo. Para el paso inductivo tomas un alien y el idioma que habla con más aliens, y por casillas lo habla con al menos
$$\left \lceil \frac{3n! - 1}{n} \right \rceil \geq 3(n-1)!$$
Aliens. Si entre esos aliens se repite ese mismo idioma acabé, de lo contrario por hipótesis inductiva acabé.
2. Sea $X \neq A$ la intersección de la tangente a $C_2$ por $A$ con $C_1$ y sea $Y \neq A$ la intersección de la tangente a $C_1$ por $A$ con $C_2$. Por angulitos (dirigidos) veo que $KX \parallel AM$ y $MY \parallel AK$, entonces $Q$ es el punto medio de los arcos $KX$ de $C_1$. Sin pérdida de generalidad es el del arco que contiene a $A$, entonces voy a probar que $R$ es el punto medio del arco $MY$ de $C_2$ que no contiene a $R$. Eso equivale a probar que $AR$ es bisectriz interna de $MAY$, y ya que $AQ$ es bisectriz externa del ángulo entre $AX$ y $AK$, equivale a demostrar que $\angle MAK$ es igual al ángulo entre $C_1$ y $C_2$, lo cuál es inmediato con ángulos semiinscritos en $C_1$ y $C_2$.
Ahora, para la segunda parte, quiero probar que las paralelas a $AM$ por $Q$ y a $AK$ por $R$ concurren en $MK$. Con angulitos (dirigidos) veo que $QK \parallel RM$. Si $AR \parallel KM$ esto implica que $QRMK$ es un paralelogramo, entonces si $T$ es el punto tal que $ARTK$ es paralelogramo, entonces como $AR = KT$ y $QR = KM$, me queda que $TM = AQ$ y $AQTM$ también es paralelogramo.
Si $AR$ y $KM$ no son paralelas, sea $O$ su intersección, y sea $T$ la intersección de la paralela a $AM$ por $Q$ con $KM$, entonces
$$\frac{OM}{OT} = \frac{OA}{OQ} \quad \text{y} \quad \frac{OK}{OM} = \frac{OQ}{OR}$$
Multiplicando esas dos cosas me queda que $\frac{OK}{OT} = \frac{OA}{OR}$, y $AK \parallel RM$.
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