Problema 1. Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ para los cuales la secuencia de enteros positivos $a_{1}, a_{2}, \cdots$, donde $a_{1}=a$, $a_{2}=b$ y
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{mcd(a_{n-1},a_{n-2})}$$
Para $n\geq 3$, está acotada.
Problema 2. Cada arista de un tablero de $m\times n$ está orientada con una flecha de forma que
a) El borde está en sentido horario.
b) Cada vértice interior tiene dos flechas que salen de él, y dos flechas que llegan a él.
Prueba que hay al menos un cuadrado (de $1\times 1$) cuyos lados están en sentido horario.
martes, 7 de junio de 2016
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1 comentario:
2. Decimos que un cuadrito de 1 x 1 es bueno si la flecha de su arista inferior va a la izquierda y la flecha de su arista izquierda va hacia arriba. Notemos que el cuadrito inferior izquierdo es bueno. Ahora, si un cuadrito es bueno, su arista superior va a la derecha, y su arista derecha va hacia abajo, ya gané. Supongamos que una de estas no pasa, SPG la arista derecha va hacia arriba, entonces aplicando la hipótesis del problema a la esquina inferior derecha del cuadrito bueno, obtengo que las otras dos flechas que pasan por ese vértice deben entrar al vértice. Esto implica que el cuadrito de la derecha es bueno.
Entonces, si no hay un cuadrito en sentido horario, entonces cada cuadrito bueno tiene otro cuadrito bueno arriba o a la derecha. Entonces en particular el cuadrito en la esquina superior derecha debe ser bueno, y entonces está en sentido horario.
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