soluciones del mock (Diego Roque) (Solo tengo Webcam)

soluciones (Juan) MOCK 1

En el 1 hay otra hoja pero solo tiene el caso del triangulo rectangulo y ese es trivial asi que solo subi esa.

Soluciones (Xavi) Examen IMO Mock 1

Examen IMO Mock 1 Sabado 18 de Mayo, 3:00 pm

Problema 1. Sean $ABC$ un triángulo y $H$ el ortocentro del triángulo.
Sean $L$, $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente.
Muestra que
$$HL^2+HM^2+HN^2 < AL^2+BM^2+CN^2$$
si y sólo si $ABC$ es acutángulo.


Problema 2. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que
$$f(m-n+f(n))=f(m) + f (n)$$
 para todos  $m, n \in \mathbb{Z}$.

Problema 3. Sea $n$ un entero positivo, y sea $A_n$ el conjunto de enteros positivos $a$ menores o iguales que $n$ tales que $n|(a^n+1)$.
a) Encuentra todas las $n$ tales que $A_n$ es no vacio.
b) Encuentra todas las $n$ tales que el n\'umero de elementos $|A_n|$ de
$A_n$ es par diferente de cero.
c) ¿Existe alguna $n$ tal que $|A_n|=130$?


Tiempo 4 horas

17 de Mayo (Diego Roque)

Ahí les va uno divertido de teoría de números :P Encuentren todas las $\left \{a_i \right\} _{i=1}^{\infty}$ que son progresiones aritméticas en los naturales y que para cierto $N\geq 1$ se cumple que para todo natural $k$ :
$a_{1}a_{2}...a_{k}\mid a_{N+1}a_{N+2}...a_{N+k}$

Problema del dia 16-05-2013 (Kevin)

Dos circulos  y  son tangentes en , con  en el interior de . La cuerda  de  es tangente a  en   corta a  otra vez en  Las cuerdas  y  de  son tangentes a  Sean  y  los incentros de los triangulos   y  respectivamente. Demuestra que 

Problema del día (15-05-2013) (Chiu)

Sea $A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$ con $a_{i}\in\mathbb{R}$. Sea $P(A)$ la media aritmética de los elementos de $A$. Llamamos a $B$ un subconjunto equilibrado de $A$ si $B\subseteq A$ $(B\neq\emptyset)$ y $P(B)=P(A)$.

Si $M=\{1,2,...,9\}$,¿cuál es la cantidad de subconjuntos equilibrados de $M$?

Problema 14-05-13, Juan. COMBINATORIA

Espero que no los hayan visto.

(1) Digamos que hay un círculo dividido en $n$ secciones (sectores). Pablito empieza en la sección 1. Empieza a brincar, y en cada brinco, salta a la sección siguiente, o a la que le sigue a la siguiente. Entonces hay $2n$ movimientos posibles, 2 por cada sección. Entonces, empieza a brincar y da 2 vueltas, y vuelve a llegar al sector 1. No repitió movimientos. ¿De cuántas maneras pudo haber hecho esto Pablo?

REFORMULACIÓN:
¿De cuántas maneras puede dar exactamente 2 vueltas sin repetir movimientos?

(2) Hago un triángulo de Pascal con $n$ filas. Sobre cada casilla de él, coloco una dama inglesa blanca. Pablo escoge una línea (en total hay $3n$ posibles), y voltea todas las fichas sobre esa fila (blanca -> negra, negra -> blanca). A cada configuración a la que se puede llegar de damas inglesas $C$, llamo $f(C)$ al mínimo número de movimientos necesitados para llegar a ella. Para cada $n$, determina el máximo valor finito posible de $f(C)$.

Si ya los vieron, me dicen.

Problemas del Día (Adán)

Hola a todos, dejo algunos problemas de ecuaciones funcionales.

En todos los problemas, el problema es encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera reales $x, y$ se tiene que

1. $f\left(f\left(x+y\right)f\left(x-y\right)\right)=x^{2}-yf\left(y\right)$
2. $f\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)=f\left(f\left(x\right)\right)-2x^{2}f\left(y\right)+f\left(y^{2}\right)$
3. $f\left(xy+f\left(x\right)\right)=xf\left(y\right)+f\left(x\right)$

Son problemas distintos.

Entrada de prueba

Sean $x, y, z$ reales. Entonces

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx.$$

Post-IMO

¿Entonces?
¿Habrá? ¿Cuándo? ¿A dónde?
Hay que decirle a Toño antes del martes.

Cual es su rutina de trabajo actual rumbo a la IMO?

Me gustaría que describieran, lo mas detallado posible, en que consiste su rutina actual de preparación rumbo a la IMO. Por ejemplo, en esta ultima semana. Cuantas horas le están dedicando y exactamente que hacen, como se están preparando. También seria bueno que comentaran, que cosas les impiden prepararse mejor. Necesito sus opiniones, para uno de los temas que tratare con ustedes en el próximo entrenamiento.

Panda

Rumbo a Colombia !!

Ya casi tenemos tenemos a la selección que nos representara en la Olimpiada Internacional de Matemáticas en Colombia, nuestro objetivo es seguir trabajando duro con los muchachos para lograr la mejor participación posible en la IMO. Este blog esta dirigido principalmente a nuestros 6 alumnos, la idea es comentar problemas, soluciones, teoría y cualquier cosa que pensemos les puede ayudar a los muchachos a lograr una mejor participación. Para lograr excelencia no hay mas que trabajar, trabajar y trabajar aun mas. Con talento, mucho trabajo y la determinación indomable de tu pasión se pueden lograr metas extraordinarias.
Por favor escriban "AYE" en este post para saber que ya llegaron al blog. Así como cualquier pregunta o comentario que tengan al respecto.

Funcional

Tenemos un entero $n \ge 2$ fijo, y una función $f$ $:$ $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Se cumple que si $x$ y $y$ son números reales, entonces

 $f(x-f(y))=f(x+y^n)+f(f(y)+y^n)$. 

Encuentra todas las posibles funciones $f$ que cumplen ésto.

Números

Ana y Bruno juegan a un juego. Ana escoge un número natural no primo, $n$, luego Bruno escoge un natural $m$. Bruno gana si $m|n$, $m \le \sqrt{n}$ y $\tau(n) \le \tau(m)^3$. De otra manera, gana Ana. ($\tau$ es la función del número de divisores). ¿Quién puede asegurar la victoria?

Juego

Aberardo y Baltazár juegan a un juego. Aberardo tiene un crayón color rojo y Baltazár tiene uno color azul. También se dispone de un crayón color púrpura, y de un lápiz. Con el lápiz dibjan un círculo. Primero, Aberardo escoge un número natural $n$, mayor que 2.

Luego, Aberardo pinta un punto de la circunferencia con su crayón, y luego Baltazár pinta un punto (distinto al de Aberardo) con su crayón. Se continúa haciendo ésto, alternando entre Aberardo y Baltazár, hasta que cada uno ha pintado $n$ puntos con su crayón. (Nota: Dos puntos no pueden ser iguales. Es decir, si es mi turno, debo pintar un punto en la circunferencia que no ha sido pintado antes ni de rojo ni de azul). Al conjunto de los $2n$ puntos le llamo $S$.

Ahora bien, a un punto dentro del círculo, $P$, le asigno el conjunto de puntos, $C_P$, tal que:
(a) $C_P$ es un subconjunto de S.
(b) Si $X \in C_P$ y $Y \in S$ pero Y no está en $C_P$, entonces $PX \textless PY$.
(c) SI $X,Y \in C_P$, entonces $PX=PY$.
Luego, Aberardo colorea de rojo todos los puntos $P$ dentro del círculo tal que $C_P$ contiene solamente a puntos rojos, y Baltazár colorea de azul todos los puntos $Q$ dentro del círculo tal que $C_Q$ contiene solamente a puntos azules. Al final, se colorean de púrpura los puntos $P$ tal que $C_P$ contiene puntos rojos y azules.

Aberardo gana si el área roja es mayor o igual a la azul, y Baltazár gana si el área azul es mayor (estrictamente) a la roja.

¿Existe una estrategia ganadora? En caso de que sí, ¿para quién?

Problema

Definimos el conjunto $\Gamma$ como el conjunto de naturales $n$ tal que se pueden acomodar los elementos de $[n]$ (es {1,2,..,n}) alrededor de un círculo tal que la diferencia de dos consecutivos es 3, 4, 5, -3, -4 ó -5, siempre. Determina si $\Gamma$ cumple las siguientes propiedades:
(A) Sólo una cantidad finita de sus elementos no pertenecen a {$\phi (n)$ | $n$ natural}
(B) Todos los primos mayores a 30 pertenecen a él.
(C) Todos los números perfectos mayores a 6 pertenecen a él.

Otro de Geo

ABC con AB=AC. D punto medio AB. La mediatriz de AB y la de CD se intersectan en E. F es la intersección de AC y la tangente por D al circuncírculo de BED.Demuestra que AF/FC=2/3.

Problema De Combinatoria

Tenemos un tablero estilo triángulo equilatero partido en $n²$ pequeños triángulos equiláteros. Tenemos un $k$ tal que hay $k$ alfiles en el tablero. Dos alfiles se atacan si están en la misma diagonal (hay 3 tipos de diagonales, horizontales, de izquiera abajo a derecha arriba y de izquierda arriba a derecha abajo). No hay dos alfiles que se ataquen. Calcula la máxima $k$ posible tal que ésto puede pasar, en función de $n$.

Problema de Geometria

Un triangulo ABC tiene un excirculo w con centro J. w toca a los lados AB, BC y CA en F, E y D, respectivamente. Resulta que DE es perpendicular a AB, y que DE y AB se intersectan en G. Ahora, X es el pie de altura desde F hasta GJ. Entonces, calcula le medida de los ángulos BXD y AXE.

M-4

Dado un conjunto $S$ de puntos en el plano, diremos que una circunferencia es una 4-circunferencia si pasa por al menos cuatro puntos de $S$. ¿Cuál es la máxima cantidad de 4-circunferencias que puede determinar un conjunto $S$ de siete puntos?

N-4

Sea $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ tal que $P(0)=P(1)=1$. Para un entero dado $a$ definimos la sucesión $(x_n)$ por $x_1=a$ y $x_{n+1}=P(x_n)$. Demuestra que para cada entero positivo $n$ se cumple que $(x_n,n!)=1$.

G-4

Sean $M$ y $N$ puntos arbitrarios en los lados $AC$ y $BC$ del triángulo $ABC$, respectivamente, y $P$ un punto arbitrario en el segmento $MN$. Demuestra que al menos uno de los triángulos $AMP$ y $BNP$ tiene área menor o igual que $\frac{1}{8}$ del área del triángulo $ABC$.

C-4

Sean $n$ y $q$ enteros positivos. Un $(n,q)$ collar es un conjunto de $n$ puntos equiespaciados en una circunferencia, donde cada punto se ha coloreado con un color elegido entre $q$ posibles. Un $(n,q)$ collar es primo si no es posible dividirlo en arcos iguales entre sí (de longitud y coloración). Demuestra que la cantidad de $(n,q^n)$ collares primos es igual a $n$ veces el número de $(n^2,q)$ collares primos.

NOTA: Dos $(n,q)$ collares se consideran iguales si se puede obtener uno a partir del otro mediante una rotación.

A-4

Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$. Demuestra que 

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3.$

M-3

Sea $S_n$ la suma de los dígitos  de la expansión decimal de $2004^n$. Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:

"Para cada $C>0$ existe $n_0$ tal que $S_n>C$ para todo $n\geq n_0.$

N3

Dados $p,q>1$ números enteros, se escribe un número en cada una de las casillas de un tablero rectangular de $p\times q$. Sea $a_{ij}$ el número en la fila $i$ y columna $j$. Se completa un nuevo tablero de la siguiente manera: Se escriben en sus casillas los mismos números, siguiendo el orden
$a_{11},a_{12},\dots , a_{1q},a_{21},a_{22},\dots , a_{2q},\dots ,a_{p1},a_{p2},...,a_{pq},$
pero por columnas, de arriba hacia abajo y comenzando por la primera de izquierda a derecha. Supongamos que inicialmente están los números 1,2,$\dots, pq$ escritos en ese orden, por filas, de izquierda a derecha, comenzando por la fila superior. Demuestra que después de aplicar una cantidad finita de estas operaciones, se regresa a un tablero como el original y determina la menor cantidad de operaciones necesarias para lograr esto.

G3

Un triángulo y un cuadrado están circunscritos a la misma circunferencia. Demuestra que al menos la mitad del perímetro del cuadrado está dentro del triángulo.

C3

Dado un entero $n\geq 2$, hallar todos los enteros $k\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: Es posible elegir $k$ enteros $a_1,a_2,\dots ,a_k$, todos de valor absoluto menor o igual que $n$ y tales que la suma de los $k$ números sea cero, pero si se suman algunos de ellos, no todos, la suma siempre es distinta de cero.

Álgebra 3

Ayer se me pasó poner el post para que comenten las soluciones. Si yo no lo pongo y alguien ya quiere publicar acerca de un problema, pongan ustedes mismos el post.

A3) Sea $P(x) \in \mathbb{Z} [x]$, de grado $n>0$ y con $n$ raíces reales en el intervalo $(0,1)$. Demuestra que le valor absoluto del coeficiente principal de $P(x)$ es mayor o igual que $2^n$.