2. Sea $n \geq 4$ un entero. Determina todas las funciones $f \colon \{1, 2, \dots, n\}^2 \to \mathbb{R}$ tales que si tres conjuntos $A, B$ y $C$ forman una partición de $\{1, 2, \dots, n\}$ entonces
$$\sum_{a \in A} \sum_{b \in B} \sum_{c \in C} f(a, b)f(b, c) = \vert A \vert \vert B \vert \vert C \vert $$
3. Sea $p$ un primo, y sea $S_p$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes enteros no negativos y menores que $p$, y grado menor que $p$. Supón que para cualesquiera $P, Q \in S_p$ tales que $P(Q(n)) \equiv n \pmod{p}$ para todos los enteros $n$, se cumple que los grados de $P$ y $Q$ son iguales. Determina todos los posibles valores de $p$.
3 comentarios:
Problema 1. Notemos que por estar $A,E,B,D$ en $\omega$, tenemos que $\angle BAE=\angle BDE$, como $CDBX$ cíclico, llegamos a que $\angle CXB=\angle BDE =\angle BAE$. Por las tangentes, notemos $\angle AEB=\angle CAB$. De esto tenrmo que $AEB$ y $XAC$ son semejantes, entonces $\frac{AE}{AX}=\frac{AB}{CX}$, y como $AB=BX$, tenemos $\frac{AE}{AX}=\frac{BX}{CX}$, y por LAL, es fácil ver que $CXB$ es semejante a $XAE$, de donde tenemos $\angle XCB=\angle AXE$, lo que implica que $EX$ tangente a $\gamma$, como queríamos.
Hints en ROT13 (Para que no los vean por accidente. Vayan a http://www.rot13.com/ y se los traduce)
2. Qrzhrfgen dhr s gbzn ry zvfzb inybe pba yn cnerwn (n, o) dhr pba yn cnerwn (o, p).
3. Pbafvqren yb dhr cnfn pba ybf zbabzvbf cnen erqhpve n cbdhvgbf inyberf qr c.
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