Problema del día 16 de mayo (Georges)

Sea $P$ un punto adentro del cuadrilátero $ABCD$. Los puntos $Q_{1}$ y $Q_{2}$ se encuentran adentro de $ABCD$ de tal forma que

$ \angle Q_{1}BC=\angle ABP,\angle Q_{1}CB=\angle DCP$
$\angle Q_{2}AD=\angle BAP,\angle Q_{2}DA=\angle CDP. $

Demuestra que $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{AB} $ si y solo si $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{CD} $

Problema del día 15 de Mayo (Centros)

Sea $n\geq 5 $ un entero positivo. Demuestra que el conjunto $\{1,2,...,n\}$ puede partirse en dos conjuntos no vacíos $S_n$ y $P_n$ de tal manera que la suma de los elementos de $S_n$ sea igual al producto de los elementos de $P_n$.

Teorema de las isogonales de Jacobi

Aquí pongo un teorema que me ha sido muy útil para concluir rápidamente varios problemas de geometría. Espero que les pueda ser de ayuda.

Teorema de las isogonales de Jacobi: Sea $ABC$ un triángulo, sobre los lados de éste se construyen triángulos $BPC, CQA$ y $ARB$ de tal manera que $\angle CAQ=\angle BAR$, $\angle ABR=\angle CBP$ y $\angle BCP=\angle ACQ$. Entonces las rectas $AP, BQ$ y $CR$ son concurrentes.

Problema 2 del día 14 de mayo (Jorge)

Pongo otro para los que ya habían visto el problema de combi que puse.
Este me pareció bonito:

Demuestra que, para toda función $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$, existen al menos dos números reales positivos $x,y$ tal que

$f(x+y)$<$yf(f(x))$

Problema del día 14 de Mayo (Centros)

Sean $a_1, a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que \[ \sum^{n}_{i = 1}a_{i}=\sum^{n}_{i = 1}\frac{1}{a_{i}^{2}}. \]

Demuestra que para cada $i=1,2,...,n$ podemos encontrar $i$ de los $n$ números cuya suma sea al menos $i$.

Problema del día sábado 14 de mayo (Jorge)

Sea $n$ un entero positivo, y sea $N=n^2+1$. Se tienen $N$ colores, cada cuadrito unitario de una cuadrícula de $N$x$N$ se colorea usando uno de los $N$ colores, de tal manera que cada color fue utilizado exactamente $N$ veces.

Demostrar que existe una columna o una fila en donde hay al menos $n+1$ colores distintos.

Problema del día (Centros)

Ayer no se podía postear por alguna razón, pero hoy si les dejo un problema:

A una fiesta asisten ocho personas. Se cuenta con cuatro mesas para acomodar a los invitados; en cada mesa debe haber exactamente dos personas. Se sabe que para cada persona $P$ en la fiesta hay a lo más tres invitados que son enemigos de $P$ (ser enemigo es mutuo). Demuestra que es posible acomodar a las personas en las cuatro mesas de tal forma que no haya enemigos en la misma mesa.

PROBLEMA DEL DIA: 12 DE MAYO (Manuel)

Pondré dos problemas que se me hicieron sencillos, pero que con una buena construcción salen en un instante:

1) Sean n y k enteros positivos. Están dadas n circunferencias, todas se intersectan dos a dos en un par distinto de puntos. Cada punto de intersección se pinta de uno de n colores distintos tal que cada color sea utilizado almenos una vez, y exactamente k colores distintos aparecen en cada circunferencia. Encuentra todos los valores de k para toda n$\geq$2 tal que haya una construcción posible.

2) Se tiene una gráfica completa de n vértices. Un paso es escoger un ciclo de longitud 4 (si existe alguno) y se le elimina una de las aristas que la conforma. Determina el menor número de aristas que se pueden dejar en la gráfica después de varios pasos.

Otro problema de números (Niño)

Este problema es de la lista corta de la IMO 2000. Está difícil, así que díganme si quieren una sugerencia.

Demuestra que la cantidad de enteros que no se pueden representar como suma de cuadrados perfectos distintos, es finito.


(Publicado originalmente el Miércoles 11 de Mayo)

Problemas con blogger

Parece ser que blogger tuvo algunos problemas en estos días y algunos posts se borraron, pondré otra vez los que se quedaron grabados en mi cuenta de Google Reader.

Problema de T.Numeros

Se borro asi que lo pondre de nuevo, junto a la solucion en los comentarios. Sean $b,n,m\in\mathbb{N}$, tal que $n\neq m$, $b\geq 2$, y para todo primo $p$ se cumpla que $p|b^n-1\Leftrightarrow p|b^m-1$. Demostrar que $b-1$ es potencia de dos.

Solución al problema del lunes

No se que paso pero no sale el problema de Georges, asi que lo pondre otravez y pondre mi solucion en los comentarios.

Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$, de tal manera que $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\geq 4$. Demostrar que

$$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{ac+1}{(a+c)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}\geq 4$$

Otro problema de números

Este problema es de la lista corta de la IMO 2000. Está difícil, así que díganme si quieren una sugerencia.

Demuestra que la cantidad de enteros que no se pueden representar como suma de cuadrados perfectos distintos, es finito.

Problema del día Miércoles 12 de Mayo (Diego)

Sea $ABC$ un triangulo. Los triangulos $PAB$ y $QAC$ estan afuera de $ABC$, construidos de tal manera que $AP=AB$ y $AQ=AC$ y $\angle BAP=\angle CAQ$. Los segmentos $BQ$ y $CP$ se intersectan en $R$. Sea $O$ el circuncentro de $BCR$. Demuestra que $AO$ y $PQ$ son perpendiculares.

En el interior de un triángulo $ABC$, con $AC\neq BC$, se toma un punto $X$. Sean $\alpha=\angle A$, $\beta=\angle B$, $\phi=\angle ACX$, $\delta=\angle BCX$. Pruebe que $X$ está en la mediana del triángulo $ABC$ por el vértice $C$ si y sólo si
$$
\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\sin\phi\sin\delta}{\sin(\phi-\delta)}.
$$

Algo de teoria...

Pues pensando en el problema que puse, una de las primeras ideas que se me ocurrio, y que de hecho fue util pensar en eso, pero que no resolvia el problema fue lo siguiente:
Sea $p$ un primo (no recuerdo si impar necesariamente) y $P(x)=ax^2+bx+c$ un polinomio con coeficientes enteros $a,b,c$ ($a$ no es cero), entonces hay solucion a $P(x)\equiv 0 \pmod{p}$ si y solo si $b^2-4ac$ es residuo cuadratico modulo $p$ o $p|b^2-4ac$
Creo que de alguna manera puedes serles util, a lo mejor ya se lo sabian o tal vez no, pero a mi me ha servido en varios problemas.

Problema del dia Martes 10 de Mayo (Flavio)

Este problema no lo he hecho, pero alguna vez lo intente un poco. Es del selectivo 2 para la IMO de Holanda del 2010 (bueno segun lo que entendi de su pagina):
El polinomio $A(x) = x^2 + ax + b$ con coeficientes enteros tiene la siguiente propiedad: Para cada primo $p$ hay un entero $k$ tal que $A(k)$ y $A(k + 1)$ son ambos divisibles por $p$. Prueba que hay un entero $m$ tal que $A(m) = A(m + 1) = 0$.

Problemas del día por IMOs

Por favor confirmen si es correcta la asignación de días en el blog para los IMOs

Lunes ----- Georges
Martes ---- Flavio
Miercoles ---- Diego
Jueves ---- Manuel
Viernes --- Daniel
Sabado ---- Garza

Me fije que Georges ya empezó este lunes, así que los lunes son de Georges.

Recuerden que pueden poner un problema, o otras cosas como alguna técnica o teoría que consideren los demás deben saber, en fin, cualquier cosa que les ayude a sus compañeros y lo mas importante que los mantenga activos.

Que opinan de que publique en Facebook sobre la publicación de todos estos problemas de preparación para la IMO?, quizás a alguien de la comunidad le interesaría ver que tipo de problemas resuelven los IMOs, quizás solo estar al tanto de que quienes no sean miembros del blog no puedan comentar.

Panda

Problema del día Lunes 9 de mayo (Georges)

Uno facilin para empezar la semana.
Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}\leq4 $.
Demuestra que \[ \frac{ab+1}{(a+b)^{2}}+\frac{bc+1}{(b+c)^{2}}+\frac{ca+1}{(c+a)^{2}}\geq 3. \]

Problema del día Martes 3 de mayo, 2011

Un problema fácil y no horrible (a diferencia de los de Hugo) para hoy.

Un pentágono convexo inscrito en un círculo de radio 1 tiene dos diagonales perpendiculares que se intersecan en el interior del pentágono. ¿Cuál es la máxima área que puede tener el pentágono?

No se supone que se ponen problemas de todas las áreas? Va casi un mes con pura geometría...

Problema del día Martes 26 de abril de 2011 - GEO

El incírculo del triángulo $ABC$ toca al lado $CA$ en $K$. Una segunda circunferencia $S$ con el mismo centro intersecta a cada lado del triángulo en dos puntos. Sean $E$ y $F$ las intersecciones con $AB$ y $BC$ más cercanas a $B$, sean $B_1$ y $B_2$ las intersecciones con $CA$ con $B_1$ más cercano a $A$. Finalmente, sea $P$ la intersección de $B_2E$ con $B_1F$. Muestra que los puntos $B$, $K$ y $P$ son colineales.

Entrenamiento de Geometría

¡Hola a todos!

¿Me pueden decir qué han visto de geometría en cada entrenamiento (teoría y tipos de problemas)? Es que al parecer los entrenamientos de Geometría han sido con personas distintas cada vez y la idea es llenar los huecos que haya ahora en mayo.

Problema del Día: Martes 19 de Abril de 2011

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre los segmentos $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que los triángulos $ABP$ y $ACQ$ sean acutángulos, y sean $R$ y $S$ sus respectivos ortocentros. Sea $T$ la intersección de $BP$ y $CQ$. Encuentre todos los valores de los ángulos $\angle CBP$ y $\angle BCQ$ tales que $RST$ es un triángulo equilátero.

Lounge Olimpico: Sabado 16 de Abril

En que han estado trabajando?


En esta ultima semana, en que han trabajado respecto de la Olimpiada? y si no han trabajado en cosas olimpicas, que otras cosas los han mantenido ocupados, platiquen !!

Problema del día (GEO)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Se eligen puntos $A_1,B_1,C_1$ en las alturas de $A,B$ y $C$, respetivamente, de manera tal que $(A_1BC)+(AB_1C)+(ABC_1)=(ABC)$. Demuestra que el circuncírculo de $A_1,B_1,C_1$ pasa por el ortocentro de $ABC$.

Problema del día

Les dejo este problema en lugar de la competencia de Invierno, a algunos ya se los había platicado alguna vez pero según yo nadie lo resolvió completo.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que

\[(f(n))^p\equiv n\pmod {f(p)}\]

para cualquier $n\in \mathbb{N}$ y $p$ primo.

¡Échenle ganas a los entrenamientos! ¡Les quedan tres meses antes de la IMO, en los que pueden aprender mucho si los aprovechan!

Listas de problemas

Hola a Todos:

Ya estamos en la recta final. Seis de ustedes, aquellos que se esfuercen más, lograrán ir a la IMO a representar a su país en una competencia de matemáticas. Felicidades por haber llegado hasta aquí y mucho éxito en los meses que faltan.

Como el año pasado, les dejo las listas de todos los problemas que han estado trabajando en el blog. Les dejo también la lista de problemas que se hicieron el año pasado para prepararse para la IMO y la Ibero:

http://ifile.it/53olp62 (Lista 2010)

http://ifile.it/swpn6jx (Lista 2011)

En teoría, deben de poder resolver casi todos los problemas de esta lista, pues aunque no los hayan resuelto, al menos sería bueno ver cómo lo hicieron sus compañeros. Sin contar los problemas de la competencia de invierno, llevamos $9$ problemas más que el año pasado.

¿Cómo van? ¿En qué creen que necesiten entrenar? Aún quedan algunas semanas para prepararse. Éxito!

Problema del día. Números en parejas

Determina si es posible ordenar los números $1$, $1$, $2$, $2$, $\ldots$, $n$, $n$ de modo que entre dos $j$ haya $j$ números (sin contar las $j$) para cuando $n=2000$, $n=2001$ y $n=2002$.

Por ejemplo, para $n=4$ el acomodo $41312432$ es válido.

Problema del Día: Martes 04 de abril de 2011

a) Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$. El incírculo de centro
$I$ toca a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$, respectivamente. Sea $M$ el
punto medio de $EF$ y sea $P$ el otro punto de intersección de
$AD$ con el incírculo. Pruebe que $PIMD$ es cíclico.

b) Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia
$\mathcal{C}$ de centro $O$. Sean $P,Q$ los puntos de intersección
de $\mathcal{C}$ con $AC$ y sean $E,F,G,H$ los puntos de tangencia
de $\mathcal{C}$ con los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.
Pruebe que los puntos medios de $EH$ y $FG$ están sobre el
circuncírculo del triángulo $POQ$.

Cuarto Entrenamiento

El cuarto entrenamiento donde se aplicaran los examenes selectivos para la IMO sera del 28 de abril al 8 de mayo en Cuernavaca Morelos, en el lugar de siempre, los Belenes (esta vez no habra fiestas que los interrumpan) Estoy viendo la manera mas eficaz de mandarles las calificaciones de marzo. Confirmen por este medio su asistencia por favor.