Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$, de tal manera que $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\geq 4$. Demostrar que
$$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{ac+1}{(a+c)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}\geq 4$$
viernes, 13 de mayo de 2011
Solución al problema del lunes
No se que paso pero no sale el problema de Georges, asi que lo pondre otravez y pondre mi solucion en los comentarios.
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2 comentarios:
Sea $x=b+c,y=a+c,z=a+b$. Entonces $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ y
$$4\geq a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2$$
$$=2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca$$
$$=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=x^2+y^2+z^2$$.
Tenemos tambien que $a=\frac{-x+y+z}{2}$,etc.
$$bc+1=\frac{(x-y+z)(x+y-z)+4}{4}$$
$$=\frac{x^2+(y-z)^2+4}{4}$$
$$=\frac{x^2-y^2-z^2+2yz+4}{4}$$
$$\geq \frac{x^2-y^2-z^2+2yz+x^2+y^2+z^2}{4}=\frac{x^2+yz}{2}$$
Entonces
$$\sum_{cyc} \frac{ab+1}{(a+b)^2}\geq \frac{x^2+yz}{2x^2}=\frac{3}{2}+\sum_{cyc}\frac{xy}{z^2}\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$$
Multiplicas por 2 ambos lados, luego sabesque el 2 que te queda en cada fracción es mayor o igual a a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca.
y luego a cada fraccion (sumando de la izquierda) la pones como 1+ (a+b)(b+c)/(c+a)^2 (cíclico)
pasas restando los unos, y lo que te queda es trivial con MG-MA
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