Uno facilin para empezar la semana.
Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}\leq4 $.
Demuestra que \[ \frac{ab+1}{(a+b)^{2}}+\frac{bc+1}{(b+c)^{2}}+\frac{ca+1}{(c+a)^{2}}\geq 3. \]
lunes, 9 de mayo de 2011
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4 comentarios:
Este es de la USAMO?
Si! Es el 1 de la USAMO 2011. No esta tan difícil, pero nadiE ha comentado, mañana subo la solución.
Multiplicas por 2 ambos lados, luego sabesque el 2 que te queda es mayor o igual a a^+b^2+c^2+ab+bc+ca.
y lugo acada fraccion (sumando de la izquierda) la pones como 1+ (a+b)(b+c)/(c+a)^2 (cíclico)
pasas restando los unos, y lo que te queda es trivial con MG-MA
Primero observamos que $a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}\leq4\Leftrightarrow\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}{2}\leq1$. Ahora sustituimos el uno de los denominadores por lo ahorita mencionado, y queda la suma simétrica de $\frac{3ab+a^{2}+b^{2}+c^{2}+bc+ca}{2(a+b)^{2}}+...=\frac{1}{2}+\frac{c^{2}+cb+ca+ab}{2(a+b)^{2}}+...$ y restando 3/2 de ambos lados tenemos pd $\frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^{2}}+\frac{(c+b)(b+a)}{(c+a)^{2}}+\frac{(a+b)(a+c)}{(b+c)^{2}}\geq3$, y la anterior por reacomodo sale directamente.
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