Algo de teoria...

Pues pensando en el problema que puse, una de las primeras ideas que se me ocurrio, y que de hecho fue util pensar en eso, pero que no resolvia el problema fue lo siguiente:
Sea $p$ un primo (no recuerdo si impar necesariamente) y $P(x)=ax^2+bx+c$ un polinomio con coeficientes enteros $a,b,c$ ($a$ no es cero), entonces hay solucion a $P(x)\equiv 0 \pmod{p}$ si y solo si $b^2-4ac$ es residuo cuadratico modulo $p$ o $p|b^2-4ac$
Creo que de alguna manera puedes serles util, a lo mejor ya se lo sabian o tal vez no, pero a mi me ha servido en varios problemas.