Sea $P$ un punto adentro del cuadrilátero $ABCD$. Los puntos $Q_{1}$ y $Q_{2}$ se encuentran adentro de $ABCD$ de tal forma que
$ \angle Q_{1}BC=\angle ABP,\angle Q_{1}CB=\angle DCP$
$\angle Q_{2}AD=\angle BAP,\angle Q_{2}DA=\angle CDP. $
Demuestra que $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{AB} $ si y solo si $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{CD} $
lunes, 16 de mayo de 2011
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4 comentarios:
Sea L el punto de interseccion de AB y CD, si es que existe.
Entonces por las primeras dos igualdades , P y Q1 y usando Ceva trig segun el triangulo BLC y que si x+y=w+z y senx/seny=senw/senz entonces x=w,y=z, tenemos que LQ1 es reflejado con respecto a la bisectriz de ALD de LP y por la segunda igualdad y lo mismo, LP y LQ2 tambien son reflejados con respecto a la bisectriz de ALD, pero entonces LQ2 y LQ1 dividen al angulo ALD en los mismos angulos (los inversos de los de LP) entonces Q1, Q2 y L son colineales, luego Q1Q2 no es paralela a AB si L existe, o sea si AB no es paralela a CD, entonces si Q1Q2||AB entonces AB||CD y Q1Q2||CD, analogamente si Q1Q2||CD entonces AB||CD y Q1Q2||AB, entonces Q1Q2||CD si y solo si Q1Q2||AB
Me fijo en las alturas desde P sobre los 4 lados del cuadrilatero y en las alturas desde Q1 y Q2 sobre los lados AB y CD entonces me doy cuanta usando varias semejaaza que la proporcion entre las alturas desde Q1 y Q2 sobre AB es la misma a la proporcion entre las alturas desde Q1 y Q2 sobre CD y por lo tanto cuando dson iguales unas, son iguales las otras
Supongamos que $AB$ y $DC$ no son paralelos. Sea $R$ el punto de intersección de $AB$ con $DC$. Ahora fijémonos en el triángulo $RCB$, por construcción $Q_{1}$ es el conjugado isogonal de $P$ en el triángulo $RCB$ por lo que $\angle PRC=\angle Q_{1}RB$, analogamente tenemos que $Q_{2}$ es el conjugado isogonal de $P$ en el triángulo $ARD$ por lo que $\angle PRD= \angle Q_{2}RA$ entonces $\angle PRD=\angle Q_{1}RA=\angle Q_{2}RA$ por lo tanto $Q_{2}$, $Q_{1}$ y $R$ son colineales, por lo que siempre que $AB$ no sea paralelo a $DC$ tendremos que $Q_{1}Q_{2}$ no será paralelo a ninguno de los dos, con esto se concluye la demostración.
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