Problema del día 31 de MAyo (Centros)

En un triángulo $ABC$, el punto medio de $BC$ es $L$. La bisectriz de $\angle CLA$ corta a $AC$ en $M$ y la de $\angle BLA$ corta a $AB$ en $N$. El circuncírculo de $LMN$ corta de nuevo a $AL$ en $X$ y a $BC$ en $Y$. La recta $XY$ corta a las rectas $LM$ y $LN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que $NP$ y $MQ$ son perpendiculares.

Problema del Miercoles (Diego)

Mañana probablemente estaré ocupado, así que pondré el problema hoy.

Tenemos una maquina que le cambia el cerebro a dos personas. Pero tiene un problema, entre dos cuerpos nada mas puede cambiarles el cerebro una vez.

Un centro de investigación de neurología utiliza $M$ veces la maquina en un grupo de $N$ personas, antes de darse cuenta del problema. Para resolver el problema deciden contratar a $p$ personas para usarlos en el intercambio de cerebro para que todos los cerebros terminen en su cuerpo. Dado que estas personas nunca han usado la maquina, cual es el menor $p$ con el que pueden asegurarles a las personas que las pueden devolver los cerebros a sus cuerpos originales (incluyendo a las $p$ personas)

Problema del martes (Flavio)

Un número se llama amable si se puede escribir como $m + (m + 1) + ... + (n - 1) + n$ para enteros positivos con $m$ menor a $n$. Por ejemplo: 18 es amable, ya que 18 = 5 + 6 + 7. Un número se llama potencia de dos si se puede escribir como $2^l$ para algún entero $l\ge0$.
(a) Demostrar que ningún número es a la vez amable y una potencia de dos.
(b) Demostrar que todo entero positivo es amable o una potencia de dos.

Problema del Lunes 30 de Mayo (Georges)

Aqui esta un día atrasado.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $x,y$ tales que $x+y+1$ divide a $2xy$ y $x+y-1$ divide a $x^2+y^2-1$

Problema del dia Lunes 30 de Mayo (Centros)

Una representación chida de un entero positivo n, es una representación de n como suma de potencias de 2, con cada potencia apareciendo a lo mas 2 veces.
Por ejemplo,  5 = 4 + 1 = 2 + 2 + 1.
Cuales enteros positivos tienen un numero par de representaciones chidas? 

Lema para polinomios cuadráticos

Me di cuenta que el problema 1 que puse se puede generalizar en un lema que se ve muy fuerte.

Aquí lo pongo para quien quiera intentar demostrarlo.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $2$ con coeficientes enteros. Demuestra que existen una infinidad de primos $p$ tal que $P(n)$ es múltiplo de $p$ para algún entero $n$.

Problemas del día sábado 28 de mayo (Jorge)

Me quedé sin internet y por eso no subí ayer el problema del día.

En la semana me encontré con algunos problemas que están relacionados con la distribución de los primos y me parecieron interesantes. Aquí los pongo en orden de dificultad (según yo):

1.- Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que existen $n$ enteros $k_1, k_2\ldots k_n$ mayores que uno y primos relativos por parejas, tales que el número $k_1k_2\ldots k_n-1$ se puede expresar como producto de dos enteros consecutivos.

2.- Decimos que una pareja ordenada $(m,n)$ es una pareja chilanga si $n>m>1$ y cumple que $m$ tiene los mismos divisores primos que $n$ y $m+1$ tiene los mismos divisores primos que $n+1$. Demuestra que existen una infinidad de parejas chilangas.

3.-Sea $n$ un entero positivo, definimos $f(n)$ como el número de primos distintos que dividen a $n$. Demuestra que existen una infinidad de enteros positivos $m$ tal que $f(m+2)>f(m+1)>f(m)$.

4.- Para todo entero positivo $d$, demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$, tal que $d(n!)-1$ es un número compuesto.

OTRO PROBLEMA (MANUEL)

Sean reales tales que , muestra que $\[ \frac{x(x+2)}{2x^{2}+1}+\frac{y(y+2)}{2y^{2}+1}+\frac{z(z+2)}{2z^{2}+1}\ge 0 \]$.

¿Cuándo ocurre la igualdad?

Este es de la BMO 2011

Problema del día 26 de Mayo (Centros)

En cada vértice de un cuadrado se pone una piedra. Un movimiento consiste en elegir un vértice y quitar cualquier cantidad de piedras, luego, agregamos el doble de las que quitamos a un vértice adyacente al primero. ¿Es posible llegar a tener 2011, 2010, 2012, 2011 piedras en los vértices (en ese orden)?

Ah, también aprovecho para avisarles como va a estar lo de la ida. Adán y Juán se van en autobús a Colima el día 16, Enrique y yo llegaremos el 17 como a medio día más o menos. El vuelo sale de Toluca, a las 7:00AM, el 17.

PROBLEMA DEL DIA: 26 DE MAYO (MANUEL)

El primero es el 6 del TST de China 2011, no he podido hacerlo pero se ve muy interesante, el segundo, es lo que entendí primero que pedía el problema, y tiene una solución medio sencilla:

1) TST: Sea $n\geq 2$ un entero. Tomamos n+1 enteros tal que $0 = a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n = 2n-1$. Sea $X=\{ a_i+a_j | 0\leq i\leq j\leq n\}$. Determina la mínima cantidad de elementos distintos en X

MI VERSION: Lo mismo pero determina la máxima cantidad de elementos distintos en X.

Problemas del 24 y 25 de Mayo (Centros)

1) Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio de $AB$, $H$ el pie de la altura desde $C$ y $P$ un punto dentro del triángulo tal que $AP=AC$. Demuestra que $PM$ biseca al $\angle BPH$ si y sólo si $\angle A=60^{\circ}.$

2) Sea $\{a_n\}$ una sucesión con $a_1=43$, $a_2=142 $ y $a_{n+2}=3a_{n+1}+a_n$ para $n\geq 1$. Demuestra que para todo $n$, $(a_n,a_{n+1})=1$ y que para todo entero positivo $m$, existen infinitos naturales $n$ tales que $m$ divide a $a_n-1$ y a $a_{n+1}-1.$

Problema del 25 de Mayo (Diego)

Sean $a,b,c\in\mathbb{R}^+$, tal que $a+b+c=1$. Demuestren que:

$$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+b}}\leq\frac{3}{2}$$

Problema del 27 Mayo (Daniel)

Mañana salgo de viaje asi que de una vez pongo los problemas del viernes:

1) Sean, $a, b$ y $c$ las longitudes de un triangulo acutangulo. Demuestra que
$\sqrt{a^2+b^2-c^2}\sqrt{a^2-b^2+c^2}+$
$\sqrt{b^2+c^2-a^2}\sqrt{b^2-c^2+a^2}+$
$\sqrt{c^2+a^2-b^2}\sqrt{c^2-a^2+b^2} \le ab+bc+ca$

2)Encuentra todas las parejas $(n,p)$ de enteros positivos con $p$ primo, $n \le 2p$ y tales que $n^{p-1}$ divide a $(p-1)^n + 1$

Problema Martes 24 de Mayo

Encontrar todas las funciones $f:\mathds{N} \rightarrow \mathds{R}$ tales que:
(i) $f(n+1)\ge f(n)$ para toda $n\ge 1$
(ii) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos los naturales $m$ y $n$ con $(m,n)=1$

Problema del día 23 de Mayo (Centros)

Sean $a$ y $b$ entreros positivos con $a\ge 2$ y $b\ge 3$. Demuestra que $a^b+1\geq b(a+1)$ y determina cuándo se da la igualdad.

Problemas del 21 y 22 de Mayo (Centros)

1) Sea $M$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. La bisectriz del $\angle ACD$ corta al rayo $BA$ en $K$. Si $MA\cdot MC+MA\cdot CD=MB\cdot MD$, prueba que $\angle BKC=\angle CDB.$

2)En un país con 2000 ciudades se quiere construir una nueva red de caminos para comunicarlas. ¿Es posible hacer esto de manera tal que haya exactamente dos ciudades a las que llegue un camino, exactamente dos ciudades a las que lleguen dos caminos,..., exactamente dos ciudades a las que lleguen 1000 caminos?

Problema 2 del día sábado 21 de mayo (Jorge)

Pongo otro para los que ya hayan visto la solución del otro que puse hoy, que por lo que dice Flavio serán la mayoría. Éste me pareció bonito y un poco raro.

Sean $0\leq\alpha<\beta\leq1$ reales. Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $\alpha<\frac{\phi(n)}{n}<\beta$.

Donde $\phi(n)$ es la función de Euler.

Infinidad de números primos

El otro día me encontré este artículo y me pareció interesante:

"http://www.miscelaneamatematica.org/Misc44/marianito_r.pdf"

Espero que a ustedes les guste también. En general los artículos de esta página:

"http://www.miscelaneamatematica.org/" son interesantes, son de divulgación de las matemáticas pero a un nivel más avanzado, y abordan temas muy variados.

Problema del día sábado 21 de mayo (Jorge)

a) Sea $n>1$ un número entero, y sea $p$ un primo que divide a $2^{2^n}+1$.

Demostrar que $p-1$ es múltiplo de $2^{n+2}$.

b) Demostrar que existen infinitas parejas de primos $(p,q)$ tal que $p$ divide a $2^{q-1}-1$ y $q$ divide a $2^{p-1}-1$.

APMO

NOOOOO... A UN PUNTO DE PLATA Y SI ME SALIA EL PROBLEMA DOS ORO Y MEXICO MEDALLERO COMPLETO!!!

AQUI ESTAN LOS RESULTADOS DE LA APMO, 3 PLATAS, 4 BRONCES, 3 MENCIONES HONORIFICAS MEXICO LUGAR 14

http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO/

Problema del 20 Mayo (Daniel)

Sea I el incentro del triangulo ABC Y sean X,Y,Z los incentros de los triangulos BIC, CIA y AIB respectivamente. Demuestra quesi XYZ es equilatero ABC también es equilatero.

Sea ABCD un cuadrilatero circunscrito (creo asi se dice, con una cicunferencia tangente a los 4 lados) sea g una linea por A que intersecta a BC en M y CD en N. Sean I1,I2,I3 los incentros de los tiangulos ABM, MNC y NDA respectivamente, demuestra que el ortocentro del I1I2I3 esta en G.

Los dos son short list del 2009, el primero no me ha salido.

IMO'S

¿Se sabe ya algo sobre nuestros entrenamientos? ¿Fecha o lugar?
Pura curiosidad, nada urgente.

Simposio de la Centro

¡Hola a todos!

No sé si estén enterados los que van a la Centro, pero habrá antes de la competencia un simposio los días 17 y 18 de Junio. La idea es que ustedes puedan aprovecharlo, entonces no llegaremos el 19, como habíamos dicho antes, sino el 16. Pero el plan sí sería el mismo, Enrique y yo volamos a Guadalajara y ahí encontramos a Juan y Adán para tomar un autobús a Colima. Cuando ya tenga los itinerarios de los vuelos nos ponemos de acuerdo a qué hora y dónde enontrarnos allá en Guadalajara.

¡Mientras tanto sigan entrenando! ¡Recuerden que la meta son tres oros, ánimo!

Problema del día: 19 de Mayo (Centros)

S es un subconjunto de {1,2,3,......,1000} tal que si m y n son elementos distintos de S, entonces m+n  no pertenece a S.
¿Cual el el numero mas grande de elementos que puede tener S?

PROBLEMA DEL DIA: 19 DE MAYO (Manuel)

Sea ABCD un cuadrilátero. Sea X un punto dentro de dicho cuadrilátero. $AX^{2}+BX^{2}+CX^{2}+DX^{2}$ es el doble del área del cuadrilátero. Determina para que cuadriláteros y qué puntos dentro de ellos se cumple la condición.

Problema del día 18 de Mayo (Centros)

Demuestra que se cumple
\[ \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(a+c)}+\frac{1}{1+c^{2}(b+a)}\le\frac{1}{abc} \]

para reales positivos $a,b,c$ con $ab+bc+ca=3$.


Teorema de Waring

Sea $f:\mahtbb{N}_0\to\mahtbb{N}_0$ un polinomio y $d=\gcd_{k\in\mahtbb{N}_0} f(k)$. Entonces existen constantes $N$ y $k$ tal que, para todo $n\geq N$, $nd=\sum_{i=1}^k f(a_i)$, para algunas $a_i\in \mahtbb{N}_0 \forall i$.

En particular, si $0$ y $1$ estan en el dominio de $f$, se tiene que $N=0$.

Problema de día 17 de Mayo (Centros)

Se tienen 2000 pelotas blancas en una caja. También se tiene un suministro inagotable de pelotas blancas, verdes y rojas. En cada turno podemos reemplazar dos pelotas de la caja con una o dos pelotas de acuerdo a las siguientes reglas: Dos blancas con una verde, dos rojas con una verde, dos verdes con una blanca y una roja, una blanca y una verde con una roja o una verde y una roja con una blanca.

$(i)$ Si después de hacer algunos cambios quedan tres pelotas en la caja, demuestra que al menos una de ellas es verde.

$(ii)$ ¿Es posible hacer algunos cambios de tal manera que quede sólo una pelota en la caja?

Problema del día 16 de Mayo (Centros)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $AD$ la altura desde $A$. Sea $E$ un punto en el segmento $AD$ de tal manera que $\angle BEC=90^{\circ}$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de $BAE$ y $CAE$, respectivamente. Si $F$ es el punto medio de $BC$ y $G$ es el punto medio de $O_1O_2$, demuestra que $E$, $F$ y $G$ son colineales.

Problema del día 16 de mayo (Georges)

Sea $P$ un punto adentro del cuadrilátero $ABCD$. Los puntos $Q_{1}$ y $Q_{2}$ se encuentran adentro de $ABCD$ de tal forma que

$ \angle Q_{1}BC=\angle ABP,\angle Q_{1}CB=\angle DCP$
$\angle Q_{2}AD=\angle BAP,\angle Q_{2}DA=\angle CDP. $

Demuestra que $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{AB} $ si y solo si $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{CD} $