reales tales que 
, muestra que $\[ \frac{x(x+2)}{2x^{2}+1}+\frac{y(y+2)}{2y^{2}+1}+\frac{z(z+2)}{2z^{2}+1}\ge 0 \]$.¿Cuándo ocurre la igualdad?
Este es de la BMO 2011
jueves, 26 de mayo de 2011
OTRO PROBLEMA (MANUEL)
Sean reales tales que , muestra que $\[ \frac{x(x+2)}{2x^{2}+1}+\frac{y(y+2)}{2y^{2}+1}+\frac{z(z+2)}{2z^{2}+1}\ge 0 \]$.
reales tales que , muestra que $\[ \frac{x(x+2)}{2x^{2}+1}+\frac{y(y+2)}{2y^{2}+1}+\frac{z(z+2)}{2z^{2}+1}\ge 0 \]$.
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3 comentarios:
Multiplicas todo por
$(2x^{2}+1)(2y^{2}+1)(2z^{2}+1)$
que es fácil ver que es positivo, por lo que no afecta la desigualdad.
Usando las siguientes igualdades
$x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx)$
$x^4+y^4+z^4=2(xy)^2+2(yz)^2+2(zx)^2$
$-(x^3+y^3+z^3)=-3xyz=3x^2y+3y^2x=$
$=3x^2z+3z^2x=3z^2y+3y^2z$
Nos damos cuenta que la desigualdad nos queda:
$+(x-1)^2(yz-x)^2$
$+(y-1)^2(xz-y)^2+(3xyz+xy+yz+zx)^2 \ge 0$
$+(z-1)^2(xy-z)^2$
para que se de la igualdad cada cuadrado debe ser 0 y nos damos cuenta que los (x,y,z) para los que se da la igualdad son (0,0,0)(1,-1/2,-1/2)(-1/2,1,-1/2)(-1/2,-1/2,1)
Manuel, tienes tu otra solución?, me gustaria ver de que otra forma puede salir.
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