Aquí pongo un teorema que me ha sido muy útil para concluir rápidamente varios problemas de geometría. Espero que les pueda ser de ayuda.
Teorema de las isogonales de Jacobi: Sea $ABC$ un triángulo, sobre los lados de éste se construyen triángulos $BPC, CQA$ y $ARB$ de tal manera que $\angle CAQ=\angle BAR$, $\angle ABR=\angle CBP$ y $\angle BCP=\angle ACQ$. Entonces las rectas $AP, BQ$ y $CR$ son concurrentes.
sábado, 14 de mayo de 2011
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5 comentarios:
Para que vean su fuerza pueden ver que la existencia del punto de fermat es corolario directo de este teorema.
También es muy útil en este problema: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=119194&sid=6c0ce4593da9534f9546e377c94fa32a#p119194
Con ese teorema salia directo un problema del selectivo del año pasado, que no me salio, jaja por eso me acuerdo bn
¿Cómo se demuestra? Le intenté un rato y luego lo busqué, pero no hayé donde estuviera la solución.
Hint: Ceva trigonométrico (cuatro veces). Producto cíclico.
Si no el fin de semana subo la demostración.
La idea importante para la demostración es darse cuenta que $AP, BP, CP$ son tres cevianas concurrentes en el triángulo $ABC$, se aplica ceva trigonométrico y se le llama $X$ a la igualdad, análogamente se aplica ceva trigonométrico para las cevianas $CR, BR, AR$ y se le llama $Y$ a la igualdad obtenida, de igual manera le llamamos $Z$ a la igualdad obtenida usando ceva trigonométrico con las cevianas $BQ, AQ, CQ$. Después el "producto" $X$x$Y$x$Z$ nos da una igualdad que por ceva trigonométrico demuestra que $AP, QB$ y $CR$ son concurrentes.
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