10 de septiembre.

Creo que no tiene sentido poner un problema nuevo dado que hay varios con pocos comentarios o ninguno. Así que la idea es trabajar en los problemas que no han sido respondidos. Si publican algo en alguno pongan un comentario aquí indicando el día del problema para que todos sepamos que dicha discusión se ha reactivado.

Problema de Algebra

Considera una colección de vectores $(x,y)$ con coordenadas enteras no negativas, al menos una de las cuales es no cero. Uno de tales vectores se llama un generador si $|x-y|=1$.

a) Muestra que dado un vector $(x,y)$, este puede ser representado como suma de diferentes generadores (o uno solo si el vector es generador) si y s ólo si la cantidad $k(x,y)=x+y-(x-y)^2$ es no negativa.

b) Muestra que el número $N(x,y)$ de diferentes representaciones (modulo el orden) de los vectores
$(x,y)$ como sumas de distintos generadores depende sólo del número $k(x,y)$. Encuentra $N(13,18)$.

Problema del día 7 de septiembre.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos que no son cuadrados perfectos. Para $n$ en $S$, decimos que una lista de enteros $a_1,a_2,...,a_r$ es buena si $n<a_1<a_2...<a_r$ y $n\cdot a_1\cdot a_2\cdots a_r$ es un cuadrado, ahora nos fijamos en el último término de cada lista buena y sea $m$ el menor de ellos, entonces decimos que $m$ es el abuelo de $n$. Por ejemplo, $2\cdot 3\cdot 6$ es un cuadrado, mientras que $2\cdot 3$, $2\cdot 4$, $2\cdot 5$, $2\cdot 3\cdot 4$, $2\cdot 3 \cdot 5$, $2\cdot 4\cdot 5$ y $3\cdot 4\cdot 5 $ no son cuadrados, por lo tanto $6$ es el abuelo de $2$.

 Demuestra que dos números distintos tienen abuelos distintos.

Problema de Algebra

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios mónicos tales que $P(P(x))=Q(Q(x))$, para todo número real
$x$. Muestra que $P(x)=Q(x)$.

Problema del día 2 de septiembre

¿Cómo van con el problema del lunes?, ¿necesitan algún hint? Mientras les dejo el de hoy.

Hay 2010 cajas numeradas del 1 al 2010, digamos $B_1, B_2, ..., B_{2010}$. Entre ellas se reparten $2010n$ pelotas. Es posible redistribuir las pelotas entre las cajas como sigue: se escoge un entero $i$ y se toman $i$ pelotas de la caja $B_i$ las cuales se ponen en otra caja. Encuentra los valores de $n$ para los cuales sea posible llegar al acomodo en donde cada caja tiene exactamente $n$ bolas sin importar el acomodo inicial.

Problema del día 31 de Septiembre

Dados dos enteros positivos $m$ y $n$, demuestra que existe un entero $c$ tal que cada dígito distinto de cero aparece la misma cantidad de veces en $cm$ y en $cn$.

Problema del día 28 de agosto.

Definimos un $k$-clan como un conjunto de $k$ personas tales que cuaesquiera dos personas se conocen entre s\'i. En una fiesta se cumple que cualesquiera dos $3$-clanes tienen al menos una persona en com\'un y no hay 5-clanes. Demuestra que se pueden escoger dos personas, de manera que si se saca a estas dos personas de la fiesta ya no quedan 3-clanes.

Problema del martes 25 de agosto (olvide)

Para cualquier numero $\alpha$ dado, encuentra todos los polinomios mónicos de grado a lo más 3 que conmutan con el polinomio $P(x)=x^2-\alpha$.

Problema del día 26 de agosto

Un entero positivo $N$ se dice balanceado si es igual a uno o si se puede expresar como el producto de una cantidad par de primos (no necesariamente distintos). Dados dos enteros positivos $a,b$ considera el polinomio $P(x)=(x+a)(x+b)$.

a) Demuestra que existen enteros $a,b$ tal que los enteros $P(1), P(2), \dots , P(2015)$ son balanceados.  
b) Demuestra que si $P(n)$ es balanceado para todo $n$ entoncces $a=b$.

Problema del día 24 de agosto

Leo y Niño juegan un juego por turnos. En una mesa se ponen $2014$ cartas en fila (en cualquier orden) con los números del 1 al $2014$ escritos en ellas (los números son visibles y no hay dos cartas con el mismo número). El jugador en turno decide si escoger la carta del extremo derecho o la carta del extremo izquierdo y removerla de la mesa. Cuando ya no hay más cartas en la mesa cada jugador suma los números de las cartas que agarró, el que sume más puntos gana. Demuestra que el jugador que comience puede garantizar la victoria.

Problema IGO

Problema. El triángulo $ABC$ cumple que $\angle C=\angle A+90^{\circ }$. Un punto $D$ sobre la prolongación de $BC$ es tal que $AC=AD$. Un punto $E$ que no está sobre la recta $BC$ y que no está del mismo lado que $A$ con respecto a $BC$, cumple que $\angle EBC=\angle A$ y $\angle EDC=\frac{1}{2}\angle A$. Muestre que $\angle CED=\angle ABC$.

Problema 1 de Algebra

Calcula la suma
$$\sum_{k=0}^{n} (-1) ^k k^n \binom{n}{k}.$$

Examen IGO

Problema 1. Dos puntos $X$ y $Y$ están sobre el arco $BC$ del
circuncírculo del triángulo $ABC$ (sobre el arco que no contiene a $A$) y son tales que $\angle BAX=\angle CAY$. Sea $M$ el punto medio de la
cuerda $AX$. Muestre que $BM+CM>AY$.

Problema 2. Un cuadrílátero convexo $ABCD$ cumple con $\angle B=\angle D=60^\circ$. Sean $M$ el punto medio de $AD$ y $P$ el punto de intersección de $BC$ con la paralela a $CD$ por $M\,$. Un punto $X$ sobre $CD$ es tal que $BX=CX$. Muestre que $AB=BP$ sí y sólo si $\angle MXB=60^{\circ }$.

Problema 3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, La circunferencia de diámetro $BC$ corta a $AB$ y $CD$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la intersección de
$AM$ y $EF$. Sea $X$ un punto en el arco $EF$ y $Y$ el segundo punto de intersección de $XP$ con la circunferencia. Muestre que $\angle XAY=\angle XYM$.

\Problema 4. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$. La tangente por $A$ al circuncírculo de $ABC$ corta a $BC$ en $P$. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$ y $X$ un punto sobre $OP$ con $\angle AXP=90^\circ$. Dos puntos $E$ y $F$ sobre $AB$ y $CA$, respectivamente y sobre el mismo lado de $OP$ son tales que

$$\angle EXP=\angle ACX\text{ y }\angle FXO=\angle ABX.$$

si $K$ y $L$ son las intersecciones de $EF$ con el circuncírculo del triángulo $ABC$, muestre que $OP$ es tangente al circuncírculo del triángulo $KLX$.

Problema 5. Dos puntos $P$ y $Q$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC,$ tienen la misma distancia al punto medio de $BC$. Las perpendiculares a $BC$ por $P$ y $Q$ intersectan a $CA$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente.

Sea $M$ el punto de intersección de $PF$ y $EQ$. Si $H_{1}$ y $H_{2}$ son los ortocentros de los triángulos $BFP$ y $CEQ$, respectiamente. Muestre que $AM$ y $H_{1}H_{2}$ son perpendiculares.

Sobre el examen del 22 de septiembre

Que tal chicos

Subiré el examen mañana temprano para que lo puedan intentar en el día, la hora la ponen ustedes pero deben dedicarse 4 horas y media.

Al final del día esperare las soluciones escaneadas a mi correo y en la semana les diremos como resultaron en esta simulación.

Saludos

Lalo

Problema entrenamiento IGO

Problema 3. Ana y Beto han dibujado cada uno un polígono inscrito de $93$ lados. Denotemos por $A_{1}A_{2}...A_{93}$ el de Ana y por $B_{1}B_{2},...,B_{93}$ el de Beto.

Se conoce que $A_{i}A_{i+1}\left\Vert B_{i}B_{i+1}\right. $ para $1\leq i\leq 93(A_{93}=A_{1}$ y $B_{93}=B_{1})$. Muestre que $\frac{A_{i}A_{i+1}}{B_{i}B_{i+1}}$ es constante, e independiente de $i$.

Sobre la dinámica del blog

Hola a todos,

Dado que varios han estado preguntado creí que sería buena idea poner un post sobre la dinámica que seguiremos en el blog.

De aquí hasta que sea la IGO tendrán un problema diario de geometría. Paralelo a eso les pondremos un problema diario de combi, números o álgebra, el cual será sencillo (más o menos como un cuatro de ibero) para que se puedan concentrar en geometría. Buscaremos que estos problemas alternos tengan el estilo ibero y sobre todo que rescaten trucos importantes, de esta manera les permitirá entrenar su velocidad y recordar o aprender mañas.
Este sábado tendrán una simulación de IGO, Lalo les puede dar más detalles al respecto.

Si ustedes tienen un problema, artículo, link, etc, que quieran compartir es totalmente bienvenido.
Creo que el blog es un buen medio para que los entrenemos a distancia, pero si se involucran en él compartiendo sus ideas se puede volver mucho más que eso. Por esta razón les recomiendo que de vez en cuando lean las soluciones de sus compañeros (independientemente de que hayan o no hayan resuelto el problema), que se animen a pedir y dar hints o postear ideas sobre cómo atacar un problema que aún no haya sido resuelto. Si alguien ya posteó una solución parecida a la suya basta con que digan qué cosas hicieron diferente, en caso de que sea igual solo digan que es la misma y en caso de que sea esencialmente distinta estaría muy bueno que también la compartieran.

Buenas noches

Problemas entrenamiento IGO

Que tal chicos, para empezar a entrenar para la IGO estaré subiendo problemas estos días y el sábado sera el examen. Inténtenlos y comenten sus soluciones u observaciones.

Problema 1. Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=90^\circ$ y $\angle C=30^{\circ }$. Denote por $\Gamma $ la circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a $BC$ en su punto medio. Suponga que $\Gamma $ corta a $AC$ y al circuncírculo de $ABC$ en $N$ y $M$, respectivamente. Muestre que $MN$ y $BC$ son perpendiculares.


Problema 2. El incírculo del triángulo $ABC$ toca a $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Denote a los pies de las perpendiculares desde $F$ y $E$ sobre $BC$ por $K$ y $L$, respectivamente. Los otros puntos de intersección de estas perpendiculares con el incírculo son $M$ y $N$, respectivamente. Muestre que

\[\frac{(\triangle BMD)}{(\triangle CND)}=\frac{DK}{DL}.\]

 Donde $(\triangle XYZ)$ denota el área del triángulo $XYZ$.

Problema del día 19 de agosto.

Sean $a_1 < a_2 < \dots < a_{2014}$ enteros positivos. Demuestra que

$$\sum_{i=1}^{2013} \frac{1}{MCM[{a_i,a_{i+1}}]} < \frac{1}{a_1},$$

donde $MCM[a,b]$ denota el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.

Problema del día 18 de agosto.

Decimos que un subconjunto $S$ de $\{1,2,...,n\}$ es equilibrado si tiene la siguiente propiedad: Cada que $a$ y $b$ sean elementos de $S$ cuyo promedio sea un entero, dicho promedio también será un elemento de $S$.
Sea $A(n)$ el número de subconjutnos equilibrados de $\{1,2,...,n\}$.  Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $A(n+2)-2A(n+1)+A(n)=1$.

Ejemplo: Todos los subonjuntos de $\{1,2,3\}$ son equilibrados excepto el $\{1,3\}$, por lo tanto $A(3)=7$.

Problema del día 17 de agosto.

Sean $b,n>1$ enteros. Supongamos que para cada entero $k>1$ existe un entero $a_k$ tal que $k| b-a_k^n$. Demuestra que $b=A^n$ para algún entero $A$.

¡Hola a todos! Como ya les habían comentado a partir de hoy comenzaremos a usar el blog para entrenar. Solo para tener un control, por favor contesten este post con un saludo seguido de su nombre (esto para que identifique su usuario con su nombre).

Saludos y buen inicio de semana.

Problemas del Viernes

1.- (Más hexágonos, pero ahora bonitos) Demuestra que en seis puntos en posición convexa alguno de los triángulos que se forman con tres vértices tiene área menor o igual a $\frac{A}{6}$ donde $A$ es el área del hexágono.

2.- Sea $s$ la solución positiva de $x^2-1998x-1=0.$ La sucesión ${a_n}$ se define de la siguiente manera: $a_0=1$ y para $n>0$ $a_n=[sa_{n-1}]$ Encuentra el residuo de $a_{1998}$ al dividir por $1998$ 

3.- Sea $A, B, C$ una partición del conjunto ${1, 2, 3, \dots 3n}$ de tal manera de cada subconjunto tiene $n$ elementos. Determina si siempre es posible escoger un elemento de cada subconjunto de tal manera que la suma de dos de ellos sea el tercero.

Olimpiada Nacional de China 2013

Dos círculos $K_1$ y $K_2$ de diferentes radios se intersectan en dos puntos $A$ y $B$, sea $C$ y $D$ dos puntos sobre $K_1$ y $K_2$, respectivamente tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. La extensión de $DB$ corta a $K_1$ en otro punto $E$, la extensión de $CB$ corta a $K_2$ en otro punto $F$. Sea $\ell_1$ y $\ell_2$ son las perpendiculares mediatrices de $CD$ y $EF$, respectivamente.

$i)$ Muestra que $\ell_1$ y $\ell_2$ tienen un único punto en común (denotado por $P$).

$ii)$ Prueba que las longitudes de $CA$, $AP$ y $PE$ son los lados de un triángulo rectángulo.

Problemas de Jun 23

1. Prueba que para toda $n$ existe un conjunto con $n$ elementos de manera que si tomas dos elementos del conjunto, $a$ y $b$, entonces $a-b$ divide a $a$ y a $b$ pero no a otro elemento del conjunto.

2. Sean $n$ y $a$ enteros fijos. Definimos al conjunto $S$ de la siguiente manera. $n \in S$ y para cada elemento $s$ de $S$ sabemos que $2s$ y $2s-1$ tambien estan en el conjunto. ¿Será cierto que para cada par de $n$ y $a$ existe un entero de la forma $k^a$ en $S$?

3. Sean $AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triangulo acutangulo $ABC$. El incirculo toca a los lados $BC, AC$ y $AB$ en $T_1, T_2$ y $T_3$ respectivamente. Considera las lineas simetricas a  $H_1H_2, H_2H_3$ y a $ H_3H_1$ con respecto a $T_1T_2, T_2T_3$ y a $T_3T_1$ respectivamente. Muestra que el triangulo formado por estas nuevas rectas esta inscrito en el incirculo de $ABC$.

Problemas 22 de junio

1. Probar que existe una permutación $x_1, x_2, \ldots, x_{2014}, x_{2015}=x_1$ de $1,2, \ldots, 2014$ tal que, para todo $1 \le k \le 2014$ se tiene que

$ x_{k+1} \in \{ 2x_k, 2x_k-1, 2x_k-2014, 2x_k-2015 \}$.

2. Se tiene una gráfica de $n$ vértices tal que no existen cuatro vértices que todos se conocen entre sí (no hay $K_4$'s). Encontrar el máximo número posible de triángulos ($K_3$'s) que puede tener dicha gráfica.

3. (**) Para un natural $n$, sea $f(n)$ el mayor número posible de aristas que una gráfica de $n$ vértices puede tener si no tiene cuadrados. Probar que existen infinitos enteros $n$ tales que

$f(n) \ge \frac{n^{3/2}}{2}-n$.

(Un cuadrado es un conjunto de 4 vértices distintos $A,B,C,D$ tal que $AB, BC, CD$ y $DA$ son aristas). 

Problema de Taiwan

En un hexágono convexo $ABCDEF$, se tiene que sus lados opuestos son paralelos, y también que la suma de distancias es la misma para cada pareja de lados opuestos. Los puntos medios de $AB$, $BC$, $DE$ y $EF$ son $A_1$, $B_1$, $D_1$ y $E_1$. Sea $P$ intersección de $A_1D_1$ con  $B_1E_1$. Muestra que $\angle{D_1PE_1}=\frac{\angle{DEF}}{2}$

Un par de problemas de la USAMO

Van dos problemas de la USAMO:

1. Sea $S=\{1,2,\ldots,n\}$ con $n\geq 1$ un entero. Cada uno de los $2^n$ subconjuntos de $S$ se pinta rojo o azul (el subconjunto, no sus elementos). Para cualquier subconjunto $T$ de $S$ denotamos con $f(T)$ a la cantidad de subconjuntos de $T$ que son azules.

Determina el número de coloraciones que satisfacen que para cualesquiera dos subconjuntos $R$ y $T$ de $S$ tenemos que $f(R)f(T)=f(R\cup T) \cdot f(R\cap T)$.

2. Sea $\lambda$ un real en el intervalo $(0,1)$ y $A$ un multiconjunto (i.e. puede tener elementos repetidos) de enteros positivos. Sea $A_n=\{a\in A: a\leq n\}$. Supongamos que para toda $n$ el conjunto $A_n$ tiene a lo más $n\lambda$ números. Muestra que hay una infinidad de enteros $n$ para los cuales la suma de los elementos en $A_n$ es a lo más $\frac{n(n+1)}{2} \lambda$.

Problemas del Jueves

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$. Las perpendiculares a $BI$ y $CI$ por $I$ cortan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. Sea $D$ el punto donde el incirculo de $ABC$ toca a $BC$ y $P$ el pie de la perpendicular de $I$ a $EF$. Sea $Q$ la intersección de $DE$ con $CP$. Muestra que $AQ$ es paralela a $BC$.

2. Se eligen diez enteros del conjunto $\{1, 2, 3, \dots 2009\}$. Muestra que existen tres distintos $a, b, c$ tales que $\text{mcd}(a, b)$ divide a $c$.

Problema de algebra

Sea $a_1,a_2,...$ una secuencia infinita de numeros reales, para la cual existe un numero real $c$ con  $0\leq a_i\leq c$ para toda $i$,  tal que $ |a_i-a_j|\geq \frac{1}{i+j}$  para todo $i,j$ con $i$ distinto de $j$.Prueba que $c\geq1$

Problemas del miércoles

1. ¿Será que exista un número real positivo tal que al elevarse a cualquier potencia entera positiva se obtenga siempre un número con parte fraccionaria estrictamente entre .4 y .6?

2. Determina si los enteros positivos se pueden partir en 12 subconjuntos disjuntos tales que, para cada k = 1, 2,… los números k , 2k , …, 12k pertenecen a distintos subconjuntos.

Tienes un conjunto de enteros positivos $S=a_1,a_2,...,a_n$ (se entiende que todos los elementos son distintos) y un conjunto $M$ de enteros positivos con $n-1$ elementos que no tiene a $a_1+...+a_n$. Un saltamontes inicia en el número 0 y da brincos del tamaño de elementos de $S$ y no puede repetir elementos. Demuestra que es posible que salte de manera que nunca caiga en uno de los elementos de $M$.

Problemas 15 de junio

1. Sea $ABCD$ un cíclico y $\omega$ un círculo tangente a $AB,CD$ y al circuncírculo de $ABCD$ internamente en $P$, en el arco $DA$. Probar que las bisectrices de los ángulos $ \angle BAD, \angle CDA $ y $ \angle APD $ concurren.

2. Se tiene una función $ f : \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{R} $ de tal forma que para todo $x_0,h \in \mathbb{Q}$ se cumple que:

Toda secuencia de racionales $x_1,x_2,x_3,...$, todos distintos de $x_0$, que cumple

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0$,

también cumple

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n+h)-f(x_n) =0 $.

¿Será que necesariamente existe un intervalo $(a,b)$ con $a \neq b \in \mathbb{Q}$ tal que $f$ está acotada en $(a,b)$?

3. $AD,BE,CF$ son las alturas de un triángulo con circuncentro $O$, y $AO \cap FE = \{T\}$, y $AR$ es la altura de $A$ a $TD$. Probar

$\angle FRT = \angle ERT$.

Nacional Canada 2015

Van dos problemas del examen del nacional de Canadá de este año. Les dejo el enlace de AoPS por si también quieren poner su solución ahí o por si quieren ver los comentarios que la gente ha dejado.

1. Sea $p$ un número primo para el cual $\frac{p-1}{2}$ también es primo y sean $a$, $b$, y $c$ enteros no divisibles entre $p$. Muestra que hay a lo más $1+\sqrt{2p}$ enteros positivos $n$ tales que $n\leq p-1$ y $p$ divide a $a^n+b^n+c^n$.

http://artofproblemsolving.com/community/c6h1081588p4756514

2. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $\omega$ una circunferencia con centro en la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$ y que pasa por $A$ y los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Supongamos que $BP\cdot CQ = AP\cdot AQ$.

Muestra que $\omega$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BOC$.

http://artofproblemsolving.com/community/c6h1081584p4756480

Problema del sabado

Considera el sistema $x+y=z+u$ and $2xy=zu$ Encuentra el mayor valor de la constante $m$ tal que $m \leq x/y$ para cualquier solucion entera $(x,y,z,u)$ del sistema,con $x$ mayor que $y$.

1- (IMO 1996) En el hexágono convexo ABCDEF las parejas de lados AD con DE, BC con EF y CD con FA son paralelas, y sea $p$ el semiperímtro. Sean $R_A$, $R_B$ y $R_C$ los circunradios de los triángulos $FAB$, $BCD$ y $DEF$ respectivamente. Demuestra que $R_A+R_B+R_C\geqslant p$

2- ¿Cuántos subconjuntos de ${1, 2, 3, ..., 2015}$ cumplen que la suma de sus elementos es múltiplo de $5$?

11 de Junio

1. Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 3$ tales que un tablero de $n \times n$ sin las cuatro esquinas puede ser cubierto con piezas así:

2. Sea $n$ un entero positivo impar. Si $\phi(n)$ y $\phi(n + 1)$ son ambos potencias de 2, muestra que $n + 1$ es una potencia de 2 o $n = 5$.

1. Hay 2008 cartas rojas y  2008 blancas. 2008 jugadores estan sentados en una mesa circular. Inicialmente, cada jugador tiene 2 cartas del mismo color. En cada turno, todos los jugadores hacen simultaneamente lo siguiente:
$(i)$ Si el jugador tiene una o mas cartas rojas, le pasa una de sus cartas rojas al jugador que esta inmediatamente a su izquierda;
$(ii)$ Si no tiene cartas rojas, le pasa una blanca al jugador que esta inmediatamente a su izquierda.
Halla el máximo número de movimientos necesarios para que todos los jugadores tengan una carta de cada color.

2. Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Un círculo que pasa por $A$ y por $O$ intersecta a las líneas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $PQ=BC$, halla el angulo que forman las rectas $PQ$ y $BC$ (el más pequeño).

Problema de perimetros constantes

Sea $ABCD$ un cuadrado con longitud de lado $a$ unidades. Consideremos $\ell_1$ y $\ell_2$ dos rectas paralelas que distan $a$ unidades. Se coloca el cuadrado $ABCD$ de manera que $AB$ y $AD$ cortan a $\ell_1$ en $E$ y $F$, además $CB$ y $CD$ corta a $\ell_2$ en $G$ y $H$. Sea $m_1$ y $m_2$ el perímetro de $AEF$ y de $CGH$ respectivamente. Muestra que $m_1+m_2$ es constante.

Problemas del Sabado

Una disculpa por no haber puesto problema el dia sabado, aqui les van dos problemas de combinatoria.

1.- Determina todos los enteros positivos $n$ tales que es posible construir un cubo de lado $n$ usando piezas de la siguiente forma:




2.- Para $n$ un entero positivo impar, los cuadros de un tablero de ajedrez de $nxn$ se colorean alternadamente de blanco y negro, con las cuatro esquinas coloreadas negras.Un trimino es una pieza en forma de $L$ formada por tres cuadritos conectados. ¿Para cuales enteros $n$ es posible cubrir todos los cuadritos negros con triminos? Cuando sea posible,¿cual es el minimo numero de triminos que se necesitan?

Problemas 8 de junio

1. Sea $p\equiv 3 (\text{mod } 4)$ un primo. Demostrar

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} \displaystyle\frac{1}{k^2+1} \equiv \displaystyle\frac{1}{2} (\text{mod }p) $.

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito e inscrito, con incentro $I$. Las perpendiculares a $AB,CD$ por $A,D$ se cortan en $U$ y las perpendiculares a $AB,CD$ por $B,C$ se cortan en $W$. Probar que $UWI$ son colineales.

3. Sean $\Gamma_1, \Gamma_2$ dos círculos que se coran en $P,K$. Sea $X \in \Gamma_1, Y\in \Gamma_2$ tales que $XY$ es tangente a ambos círculos, y $\angle XPY > \angle XKY$. Se tiene $XP \cap \Gamma_2 = \{P, C \}$ y $YP \cap \Gamma_1 = \{P, B\}$. Además, $BC \cap XY = \{ A\} $. Sea $Q$ la intersección de los circuncírculos de $ACY$ y $ABX$. Demostrar que

$\angle QKP + \angle QXB = 180$.

4. (**) Se tiene una gráfica dirigida, en cuyas aristas se escriben enteros no divisibles por $2012$. Para todo vértice $V$, si $S_i(V)$ es la suma de los números en las aristas entrando a $V$ y $S_o(V)$ es la suma de los números de las aristas saliendo de $V$, se tiene $S_i(V) \equiv S_o(V) (\text{mod }2012)$. 

Demostrar que se pueden re-bautizar a las aristas con números enteros distintos de zero y con valor absoluto menor a $2013$, de tal manera que $S_i(V)-S_o(V)=0$ para todo vértice $V$.
(Nota: si no les sale, no desperdicien mucho tiempo en este).

Problemas 7/6/15

Hola. Les dejo otros 5 problemas de TST de Holanda. Ahora son $4$ problemas del 1er TST para la IMO de 2013 y $1$ problema del $TST$ para la BxMO/EGMO de ese mismo año.

1. Determina todas las cuaternas (a,b,c,d) de números reales que satisfacen:

$ab+c+d=3$
$bc+d+a=5$
$cd+a+b=2$
$da+b+c=6$

2. Determina todos los enteros $n$ para los cuales $\frac{4n-2}{n+5}$ es el cuadrado de un número racional.

3. Sea $ABC$ un triángulo. Sea $\Gamma_1$ el circulo por $B$ tangente a $AC$ en $A$. Sea $\Gamma_2$ el círculo por $C$ tangente a $AB$ en $A$. La segunda intersección de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ le llamamos $D$. La línea $AD$ se intersecta con el circuncírculo de $ABC$ en $E$ ($E\neq A$). Muestra que $D$ es el punto medio de $AE$.

4. Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen

$f(x+yf(x))=f(xf(y))-x+f(y+f(x))$

para todos los $x,y \in \mathbb{R}$.

5. Sea $n\geq 3$ un entero y considera un tablero de $n\times n$ dividido en $n^2$ cuadritos unitarios. Para toda $m\geq 1$ se tiene una cantidad arbitraria de rectángulos de $1\times m$ (tipo 1) y de $m\times 1$ (tipo 2). Cubrimos el tablero con $N$ de estos rectángulos, sin que se encimen y de modo que todo rectángulo está dentro del tablero. Se nos pide que se use la misma cantidad de rectángulos de tipo $1$ que de tipo $2$ (observa que un rectángulo de $1\times 1$ tiene ambos tipos). ¿Cuál es el minimo valor posible de $N$?

Problema del Jueves

Hola a Todos

Este es un problema interesante, no se si tiene el nivel de una IMO, sin embargo puede mostrar sus habilidades de conteo.

Considera los ocho vértices de un octágono, denotados por -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4. Se traza el segmento que une el vértice 1 con el vértice 2, llamemosle 12. Nunca se puede considerar los segmentos  -11, -22, -33, -44.

Determinar el número de caminos de $n$ segmentos, donde $3 \leq n \leq 8$, tal que un camino esta formado por $n$ segmentos que satisfacen lo siguiente:
i)    los segmentos son cualquier segmento $ij$, que va del vertice $i$ al vertice $j$ (esto es lo mismo que el segmento $ji$)
ii) Los caminos empiezan en el vertice 1
iii) Los caminos siempre terminan con el segmento ya considerado 12 (o 21 que es el mismo segmento)

4 de Junio

1. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que

$$f(x + y^2) = f(x) + \left|yf(y)\right|$$

Para cualesquiera $x, y \in \mathbb{R}$.

2. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que

$$f(m)^2 + f(n) \mid (m^2 + n)^2$$

Para cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Omega$. Sean $B_0$ y $C_0$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente, $G$ el gravicentro de $ABC$ y $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$. La circunferencia $\omega$ pasa por $B_0$ y $C_0$ y es tangente a $\Omega$ en $X$. Muestra que $D, G, X$ son colineales.

Hay cuatro piedras en distintos puntos látice del plano cartesiano. Dos de las piedras son azules. Se vale elegir cualesquiera dos de esas cuatro piedras y desplazar una tercera (distinta) por el vector determinado por las primeras dos. ¿Será siempre posible lograr que las piedras azules esten en el mismo punto latice despues de una cantidad finita de movimientos?

TST Romanian

Sea $D$ el punto medio de el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ con $AB\not=AC$ y sea $E$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Si $P$ es la intersección de la mediatriz del segmento $DE$ con la perpendicular desde $D$ a la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, prueba que $P$ está en la ciercunferencia de los nueve puntos del triángulo $ABC$.

Problemas del 2 de Junio

1. Demuestra que para todo natural $n$ se tiene que existe:
(A) un conjunto de n naturales tales que la suma de cualquier subconjunto no es una potencia de un entero
(B) que todos son potencia

2. Sea $ABC$ un triangulo con circuncentro $O$ e incentro $I$. Sean $E,F$ los puntos de tangencia del incirculo con $AC$ y $AB$, respectivamente. Prueba que $EF, BC, OI$ concurren si y solo si $R_A^2=R_BR_C$ donde $R_A,R_B,R_C$ son los radios de los excirculos

Problemas del 1 de junio

1. Sea $ABC$ un triangulo y $P$ y $Q$ puntos isogonales. Sea $O_P$ el circumcentro del triángulo definido por las mediatrices de $PA, PB, PC$. Defino $O_Q$ similarmente. Muestra:

$PQ \parallel O_PO_Q$

2. (**) Tenemos una gráfica dirigida con $n$ vértices numerados y hay aristas $ 1 \rightarrow 2 \rightarrow ... \rightarrow n$. Queremos añadir $x_n$ aristas tal que cada arista $i \rightarrow j$ cumple $i<j$, y además para cualquier $i<j$ podemos llegar de $i$ a $j$ con $3$ aristas. Muestra que es posible elegir

$x_n=\mathcal{O}\left( n \cdot log(log(n))\right)$.

3. Se tienen naturales $a<b<2a$. En una cuadrícula, se colocan fichas en algunos cuadritos, de tal manera que en todo cuadro de $a \times b$ ó $b \times a$ hay alguna ficha. Encuentre el máximo número real $\lambda$ tal que para todo $n$ natural, podemos encontrar un cuadro de $n \times n$ con al menos $\lambda \cdot n^2$ fichas.

Problemas 31/05 (Leo)

Va la lista de 5 problemas del TST 2 Holanda, 2013. Los transcribí un poco rápido, así que avísenme si ven algo raro con las redacciones.

1. Muestra que

$\sum_{n=0}^{2013} \frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^2}$

es el cuadrado de un entero.

2. Sea $P$ la intersección de las diagonales de un cuadriálero convexo $ABCD$. Sean $X$, $Y$, $Z$ puntos en el interior de $AB$, $BC$, $CD$ respectivamente tales que

$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZD}=2$.

Supongamos además que $XY$ es tangente al circuncírculo del triángulo $CYZ$ y que $YZ$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BXY$. Muestra que $\angle APD = \angle XYZ$.

3. Fija una sucesión de enteros $a_1$, $a_2$, $\ldots$ que satisface la siguiente condición: para todos los números primos $p$ y todos los enteros positivos $k$ se tiene que:

$a_{pk+1}=pa_k-3a_p+13.$

Determina todos los posibles valores de $a_{2013}$.

4. Determina todos los enteros positivos $n\geq2$ que satisfacen que $i+j$ tiene la misma paridad que $\binom{n}{i}+\binom{n}{j}$ para todas las $i$ y $j$ tales que $0\leq i \leq j \leq n$.

5. Sea $ABCDEF$ un hexágono cíclico con $AB\perp BD$  y $BC=EF$. Sea $P$ la intersección de $BC$ y $AD$ y $Q$ la intersección de $EF$ y $AD$. Supongamos que $P$ y $Q$ están en el mismo lado que $D$ y que $A$ está en el lado opuesto. Sea $S$ el punto medio de $AD$. Sean $K$ y $L$ los incentros de $BPS$ y $EQS$ respectivamente. Muestra que $\angle KDL = 90^\circ$.

Problemas del 30 de mayo

1.-Encuentra todas las parejas de funciones $f,g$ de los reales a los reales tales que 
f(x+g(y))= xf(y) - yf(x) +g(x)   para todos los reales  $x,y$

2.-Sea $O$ el circuncentro y  $H$ el ortocentro de un triangulo acutangulo $ABC$. Prueba que existen puntos $D$, $E$,y $F$ en los lados $BC$, $CA$, y$AB$ respectivamentente, tales que
y las lineas $AD$, $BE$, y $CF$ sean concurrentes.

Problema del Viernes (Geometría rara y números)

1. (IMO 2003, problema 3) Consideremos un hexágono convexo tal que para cualesquiera dos lados opuestos se verifica la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ multiplicado por la suma de sus longitudes. Demostrar que todos los ángulos del hexágono son iguales.

2. Si $4^n + 2^n + 1$ es primo, demuestra que $n$ es potencia de $3$.

Problema de Algebra (facil para empezar)

Sean $x$, $y$, $z$ numeros reales positivos tales que $x+y+z=1$. Muestra que
$$\frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)} \geq$$

$$\left(\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}}+\frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}}\right)^2.$$

Problemas 28 de Mayo

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La circunferencia $\omega_1$ de diámetro $AC$ corta a $BC$ en $F$ y la circunferencia $\omega_2$ de diámetro $BC$ corta a $AC$ en $E$. La recta $BE$ corta a $\omega_1$ en $L, N$ con $BL < BN$ y la recta $AF$ corta a $\omega_2$ en $K, M$ con $AK < AM$. Muestra que $KN, LM$ y $AB$ concurren.

 

2. Sean $a, b, c$ reales positivos con $abc = 1$. Muestra que

$$\frac{1}{a^5(b + 2c)^2} + \frac{1}{b^5(c + 2a)^2} + \frac{1}{c^5(a + 2b)^2} \geq \frac{1}{3}$$

TST Rumanian 2013/Short List RMM 2013

Pues empecemos con los problemas retadores de Geometría.

Algo importantisimo para romper la barrera de los problemas de Geometría en la IMO a nivel 3 y 6 es desarrollar su habilidad de estudiar una construcción ampliamente y conocer/descubrir los elementos importantes detrás de la construcción. Esto en lo que respecta a los problemas sintéticos.

Un buen lugar donde encontraran diversos articulas que se dedican a realizar estos análisis es el Forum Geometricorum

http://forumgeom.fau.edu/

Por favor entren a la pagina y escojan algún articulo de geometría sintetica estilo olimpiada y comentenme que lograron aprender (si no saben cual tomar yo los puedo orientar). Estaré al pendiente de esto durante la semana.

Por el momento les dejo un problema que me agrada pues involucra construcciones bonitas y que deben dominar para la IMO.

Problema. Los circulos $\Omega$ y $\omega$ son tangentes en un punto $P$ (con $\omega$ dentro de $\Omega$). Una cuerda $AB$ sobre $\Omega$ es tangente a $\omega$ en un punto $C$, la línea $PC$ intersecta de nuevo a $\Omega$ en el punto $Q$. Las cuerdas $QR$ y $QS$ de $\Omega$ son tangentes a $\omega$. Sean $I$, $X$ y $Y$ los incentros de los triángulos $APB$, $ARB$ y $ASB$. Prueba que

$$\angle PXI+\angle PYI=90^\circ.$$

1. Se tiene un alfabeto de 2015 letras. Hallar el menor entero positivo n tal que en toda palabra de longitud n formada con letras del alfabeto (se permiten repeticiones) se pueda encontrar un bloque de letras consecutivas en el que ninguna letra aparezca un numero impar de veces.

2. ¿Será posible partir a un cuadrado en una cantidad finita de triángulos acutángulos?

1. Prueba que para toda $ n $ en los naturales, existe un entero $d \in${$n,n+1,n+2,...,n+19$} de manera que $\forall$ $ m $ entero positivo, $ m \sqrt{d}$ {$m \sqrt{d}$}$> \frac{5}{2} $.

2. Sea $ABC$ un triangulo escaleno con incentro $I$ y circuncirculo $\omega$. $AI$, $BI$, $CI$ cortan a $\omega$ en $D$, $E$ y $F$ respec. Las lineas paralelas a $BC$, $AC$ y $AB$ por $I$ cortan a $EF$, $DF$ y $DE$ en $K$, $L$ y $M$ respec. Demustra que $K$, $L$ y $M$ son colineales.