Problema del día martes

Problema. Sea $P(X)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Prueba que no hay una función $T$ que vaya del conjunto de los enteros al conjunto de enteros tal que el número de enteros $x$ con la propiedad de que $T^{n}(x)=x$, es igual a $P(n)$ para cada $n\geq 1$, donde $T^{n}$ denota la n-ésima aplicación de $T$.

Problema del día.

Sea $ABC$ un triángulo con alturas $AD$ y $BE$ que intesectan en $H$. Sea $M$ el punto medio de $AB$ y supón que los circuncírculos de $DEM$ y $ABH$ se intersectan en $P$ y $Q$ (con $P$ del mismo lado de $A$ con respecto $CH$). Pruebe que las líneas $ED, PH, MQ$ concurren en el circuncírculo de $ABC$.

Problema del dia. Sabado

Encuentra todas las funciones $f$ que van de los reales positivos a los reales positivos, y que cumplen:
$f(x)f(y)=2f(x+yf(x))$ para toda pareja de reales positivos $x,y$

Problemas del Viernes

1. Determina todas las funciones $f \colon \mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+}$ que satisfacen las condiciones

$$f \left(\frac{x}{x + 1}\right) = \frac{f(x)}{x + 1} \quad \text{y} \quad f \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^3}$$

Para todo $x \in \mathbb{Q}^{+}$.

2. Sean $n, k$ enteros positivos con $n \geq 2$ y $k \geq \frac{5n}{2} - 1$, y sea $S = \{(x, y) \vert x, y \in \mathbb{Z}, 1 \leq x, y \leq n\}$ el conjunto de todos los puntos latiz con coordenadas positivas y menores o iguales que $n$. Muestra que entre cualesquiera $k$ puntos de $S$, existen cuatro que son concíclicos.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $P$ un punto en su interior. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ los pies de las perpendiculares desde $P$ hacia $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Determina el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que las rectas $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ concurren, y se satisface la condición

$$\angle PAB + \angle PBC + \angle PCA = 90^{\circ}$$

Problema 26 de Mayo

Demuestra que para toda pareja de enteros positivos $n$ y $m$ con $n \geq m$ se cumple que:
Para cualquier conjunto de $n$ enteros se tiene que existen por lo menos $2^{n-m+1}$ subconjuntos que su suma es $0$ $mod$ $m$. (El conjunto vacío cuenta como uno con suma congruente a $0$ $mod$ $m$)

Maratón fáciles 1

Empezando el maratón que faltaba.

Problema 1. Pruebe que el número $1$ se puede escribir de una infinidad de maneras distintas de la forma: $1=\frac{1}{5} + \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}}$, donde $n, a_{1}, \cdots, a_{n}$ son enteros positivos y $5<a_{1}< \cdots < a_{n}$.

Maratón Difíciles 1

Se supone que debe haber dos maratones más. ¿Quieren empezarlos?

Problema 1. Sea $f$ una función no constante de los enteros positivos a los enteros positivos tal que $a - b$ divide a $f(a) - f(b)$ para cualesquiera enteros positivos distintos $a, b$. Muestra que existe una infinidad de primos $p$ tales que $p$ divide a $f(c)$ para algún entero positivo $c$.

Maratón Teoría de Números 1

Problema 0. Para cualquier entero $n\geq 2$ definimos $A_n$ como el número de enteros positivos $m$ con la siguiente propiedad: la distancia de $n$ al menor múltiplo de $m$ es igual a la distancia de $n^3$ al múltiplo más cercano de $m$. Determina todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales $A_n$ es impar.

Nota: La distancia entre dos enteros $a$ y $b$ es $|a-b|$.

Maratón Combinatoria 1

Problema 0. Un subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ se llama balanceado si para cada $a$ en $S$ hay un $b$ en $S$ distinto de $a$ tal que $\frac{a+b}{2}$ también está en $S$.

a) Sea $k>1$ un entero y $n=2k$. Muestra que cada subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ con más de $\frac{3n}{4}$ elementos es balanceado.

b) ¿Existe un $n=2k$ con $k>1$ un entero para el cual cada subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ con más de $\frac{2n}{3}$ elementos es balanceado?

Maratón Álgebra 1

Problema 0. Sea $n>1$ un entero. Encuentra todos los polinomios no constantes de coeficientes reales $P(x)$ que satisfacen para cualquier real $x$ la identidad $P(x)P(x^2)P(x^3) \cdots P(x^n) = P(x^{\frac{n(n+1)}{2}})$

Maratón Geometría 1

Problema 0. $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$. $P$. Las rectas $DA$ y $CB$ se encuentran en $Q$. El punto medio de $AB$ es $E$. Muestra que si $PQ$ es perpendicular a $AC$, entonces $PE$ es perpendicular a $BC$.

Maratones de problemas: Instrucciones

Para entrenar en el blog en los primeros meses de 2016 usaremos Maratones temáticos de problemas. Habrá una entrada por cada uno de los siguientes temas:

1. Algebra
2. Combinatoria
3. Geometría
4. Teoría de números
5. Problemas más fáciles
6. Problemas más difíciles

La dificultad de 1, 2, 3, 4 comenzará siendo como problemas medios de Ibero, o sencillos de IMO/EGMO. La dificultad de 5 será como problemas de nacional o centro. La dificultad de 6 será como difíciles de Ibero o medios de IMO/EGMO. Conforme pase el tiempo, iremos subiendo la dificultad.

Trabajaremos por relevos, en donde cada que alguien resuelve un problema, le toca poner el siguiente. La dinámica es la siguiente. Supongamos que el problema actual es P y fue propuesto por A.

• Si B resuelve P, entonces le toca poner problema a B. Para esto, pondrá una comentario en donde diga "Solución a P" y un enlace a la solución (fotos en dropbox). Después de esto, pondrá "Problema P+1" y escribirá el problema (o pondrá un enlace a él).
• La persona A le echará un ojo a la solución de B y le dará comentarios o retroalimentación.
• Si en 24 horas nadie resuelve P, la persona A sube una sugerencia (en enlace, por si alguien no quiere ver la sugerencia tan rápido).
• Si 48 horas después de la sugerencia nadie resuelve P, la persona A sube la solución y un problema un poco más fácil.

De esta forma, siempre hay 6 problemas simultáneos para trabajar.

Como son maratones, al llegar a 42 problemas se acaba esa entrada y es un gran logro grupal. Se abre una entrada con un nuevo maratón de ese tema. Avísenme si falta escribir algo de lo que platicamos.

Va el problema sugerido por Olga: Dados cuatro puntos en el plano $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ tales que no hay tres de ellos colineales y tales que $A_1A_2\cdot A_3A_4=A_1A_3\cdot A_2A_4=A_1A_4\cdot A_2A_3$ se define como $O_i$ el circuncentro de $A_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$ donde los índices son tomados módulo 4. Suponiendo que $A_i\neq O_i$ para $i=1$, $2$, $3$, $4$, demuestra que las rectas $A_iO_i$ son concurrentes o paralelas.

10 de septiembre.

Creo que no tiene sentido poner un problema nuevo dado que hay varios con pocos comentarios o ninguno. Así que la idea es trabajar en los problemas que no han sido respondidos. Si publican algo en alguno pongan un comentario aquí indicando el día del problema para que todos sepamos que dicha discusión se ha reactivado.

Problema de Algebra

Considera una colección de vectores $(x,y)$ con coordenadas enteras no negativas, al menos una de las cuales es no cero. Uno de tales vectores se llama un generador si $|x-y|=1$.

a) Muestra que dado un vector $(x,y)$, este puede ser representado como suma de diferentes generadores (o uno solo si el vector es generador) si y s ólo si la cantidad $k(x,y)=x+y-(x-y)^2$ es no negativa.

b) Muestra que el número $N(x,y)$ de diferentes representaciones (modulo el orden) de los vectores
$(x,y)$ como sumas de distintos generadores depende sólo del número $k(x,y)$. Encuentra $N(13,18)$.

Problema del día 7 de septiembre.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos que no son cuadrados perfectos. Para $n$ en $S$, decimos que una lista de enteros $a_1,a_2,...,a_r$ es buena si $n<a_1<a_2...<a_r$ y $n\cdot a_1\cdot a_2\cdots a_r$ es un cuadrado, ahora nos fijamos en el último término de cada lista buena y sea $m$ el menor de ellos, entonces decimos que $m$ es el abuelo de $n$. Por ejemplo, $2\cdot 3\cdot 6$ es un cuadrado, mientras que $2\cdot 3$, $2\cdot 4$, $2\cdot 5$, $2\cdot 3\cdot 4$, $2\cdot 3 \cdot 5$, $2\cdot 4\cdot 5$ y $3\cdot 4\cdot 5 $ no son cuadrados, por lo tanto $6$ es el abuelo de $2$.

 Demuestra que dos números distintos tienen abuelos distintos.

Problema de Algebra

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios mónicos tales que $P(P(x))=Q(Q(x))$, para todo número real
$x$. Muestra que $P(x)=Q(x)$.

Problema del día 2 de septiembre

¿Cómo van con el problema del lunes?, ¿necesitan algún hint? Mientras les dejo el de hoy.

Hay 2010 cajas numeradas del 1 al 2010, digamos $B_1, B_2, ..., B_{2010}$. Entre ellas se reparten $2010n$ pelotas. Es posible redistribuir las pelotas entre las cajas como sigue: se escoge un entero $i$ y se toman $i$ pelotas de la caja $B_i$ las cuales se ponen en otra caja. Encuentra los valores de $n$ para los cuales sea posible llegar al acomodo en donde cada caja tiene exactamente $n$ bolas sin importar el acomodo inicial.

Problema del día 31 de Septiembre

Dados dos enteros positivos $m$ y $n$, demuestra que existe un entero $c$ tal que cada dígito distinto de cero aparece la misma cantidad de veces en $cm$ y en $cn$.

Problema del día 28 de agosto.

Definimos un $k$-clan como un conjunto de $k$ personas tales que cuaesquiera dos personas se conocen entre s\'i. En una fiesta se cumple que cualesquiera dos $3$-clanes tienen al menos una persona en com\'un y no hay 5-clanes. Demuestra que se pueden escoger dos personas, de manera que si se saca a estas dos personas de la fiesta ya no quedan 3-clanes.

Problema del martes 25 de agosto (olvide)

Para cualquier numero $\alpha$ dado, encuentra todos los polinomios mónicos de grado a lo más 3 que conmutan con el polinomio $P(x)=x^2-\alpha$.

Problema del día 26 de agosto

Un entero positivo $N$ se dice balanceado si es igual a uno o si se puede expresar como el producto de una cantidad par de primos (no necesariamente distintos). Dados dos enteros positivos $a,b$ considera el polinomio $P(x)=(x+a)(x+b)$.

a) Demuestra que existen enteros $a,b$ tal que los enteros $P(1), P(2), \dots , P(2015)$ son balanceados.  
b) Demuestra que si $P(n)$ es balanceado para todo $n$ entoncces $a=b$.

Problema del día 24 de agosto

Leo y Niño juegan un juego por turnos. En una mesa se ponen $2014$ cartas en fila (en cualquier orden) con los números del 1 al $2014$ escritos en ellas (los números son visibles y no hay dos cartas con el mismo número). El jugador en turno decide si escoger la carta del extremo derecho o la carta del extremo izquierdo y removerla de la mesa. Cuando ya no hay más cartas en la mesa cada jugador suma los números de las cartas que agarró, el que sume más puntos gana. Demuestra que el jugador que comience puede garantizar la victoria.

Problema IGO

Problema. El triángulo $ABC$ cumple que $\angle C=\angle A+90^{\circ }$. Un punto $D$ sobre la prolongación de $BC$ es tal que $AC=AD$. Un punto $E$ que no está sobre la recta $BC$ y que no está del mismo lado que $A$ con respecto a $BC$, cumple que $\angle EBC=\angle A$ y $\angle EDC=\frac{1}{2}\angle A$. Muestre que $\angle CED=\angle ABC$.

Problema 1 de Algebra

Calcula la suma
$$\sum_{k=0}^{n} (-1) ^k k^n \binom{n}{k}.$$

Examen IGO

Problema 1. Dos puntos $X$ y $Y$ están sobre el arco $BC$ del
circuncírculo del triángulo $ABC$ (sobre el arco que no contiene a $A$) y son tales que $\angle BAX=\angle CAY$. Sea $M$ el punto medio de la
cuerda $AX$. Muestre que $BM+CM>AY$.

Problema 2. Un cuadrílátero convexo $ABCD$ cumple con $\angle B=\angle D=60^\circ$. Sean $M$ el punto medio de $AD$ y $P$ el punto de intersección de $BC$ con la paralela a $CD$ por $M\,$. Un punto $X$ sobre $CD$ es tal que $BX=CX$. Muestre que $AB=BP$ sí y sólo si $\angle MXB=60^{\circ }$.

Problema 3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, La circunferencia de diámetro $BC$ corta a $AB$ y $CD$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la intersección de
$AM$ y $EF$. Sea $X$ un punto en el arco $EF$ y $Y$ el segundo punto de intersección de $XP$ con la circunferencia. Muestre que $\angle XAY=\angle XYM$.

\Problema 4. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$. La tangente por $A$ al circuncírculo de $ABC$ corta a $BC$ en $P$. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$ y $X$ un punto sobre $OP$ con $\angle AXP=90^\circ$. Dos puntos $E$ y $F$ sobre $AB$ y $CA$, respectivamente y sobre el mismo lado de $OP$ son tales que

$$\angle EXP=\angle ACX\text{ y }\angle FXO=\angle ABX.$$

si $K$ y $L$ son las intersecciones de $EF$ con el circuncírculo del triángulo $ABC$, muestre que $OP$ es tangente al circuncírculo del triángulo $KLX$.

Problema 5. Dos puntos $P$ y $Q$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC,$ tienen la misma distancia al punto medio de $BC$. Las perpendiculares a $BC$ por $P$ y $Q$ intersectan a $CA$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente.

Sea $M$ el punto de intersección de $PF$ y $EQ$. Si $H_{1}$ y $H_{2}$ son los ortocentros de los triángulos $BFP$ y $CEQ$, respectiamente. Muestre que $AM$ y $H_{1}H_{2}$ son perpendiculares.

Sobre el examen del 22 de septiembre

Que tal chicos

Subiré el examen mañana temprano para que lo puedan intentar en el día, la hora la ponen ustedes pero deben dedicarse 4 horas y media.

Al final del día esperare las soluciones escaneadas a mi correo y en la semana les diremos como resultaron en esta simulación.

Saludos

Lalo

Problema entrenamiento IGO

Problema 3. Ana y Beto han dibujado cada uno un polígono inscrito de $93$ lados. Denotemos por $A_{1}A_{2}...A_{93}$ el de Ana y por $B_{1}B_{2},...,B_{93}$ el de Beto.

Se conoce que $A_{i}A_{i+1}\left\Vert B_{i}B_{i+1}\right. $ para $1\leq i\leq 93(A_{93}=A_{1}$ y $B_{93}=B_{1})$. Muestre que $\frac{A_{i}A_{i+1}}{B_{i}B_{i+1}}$ es constante, e independiente de $i$.

Sobre la dinámica del blog

Hola a todos,

Dado que varios han estado preguntado creí que sería buena idea poner un post sobre la dinámica que seguiremos en el blog.

De aquí hasta que sea la IGO tendrán un problema diario de geometría. Paralelo a eso les pondremos un problema diario de combi, números o álgebra, el cual será sencillo (más o menos como un cuatro de ibero) para que se puedan concentrar en geometría. Buscaremos que estos problemas alternos tengan el estilo ibero y sobre todo que rescaten trucos importantes, de esta manera les permitirá entrenar su velocidad y recordar o aprender mañas.
Este sábado tendrán una simulación de IGO, Lalo les puede dar más detalles al respecto.

Si ustedes tienen un problema, artículo, link, etc, que quieran compartir es totalmente bienvenido.
Creo que el blog es un buen medio para que los entrenemos a distancia, pero si se involucran en él compartiendo sus ideas se puede volver mucho más que eso. Por esta razón les recomiendo que de vez en cuando lean las soluciones de sus compañeros (independientemente de que hayan o no hayan resuelto el problema), que se animen a pedir y dar hints o postear ideas sobre cómo atacar un problema que aún no haya sido resuelto. Si alguien ya posteó una solución parecida a la suya basta con que digan qué cosas hicieron diferente, en caso de que sea igual solo digan que es la misma y en caso de que sea esencialmente distinta estaría muy bueno que también la compartieran.

Buenas noches

Problemas entrenamiento IGO

Que tal chicos, para empezar a entrenar para la IGO estaré subiendo problemas estos días y el sábado sera el examen. Inténtenlos y comenten sus soluciones u observaciones.

Problema 1. Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=90^\circ$ y $\angle C=30^{\circ }$. Denote por $\Gamma $ la circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a $BC$ en su punto medio. Suponga que $\Gamma $ corta a $AC$ y al circuncírculo de $ABC$ en $N$ y $M$, respectivamente. Muestre que $MN$ y $BC$ son perpendiculares.


Problema 2. El incírculo del triángulo $ABC$ toca a $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Denote a los pies de las perpendiculares desde $F$ y $E$ sobre $BC$ por $K$ y $L$, respectivamente. Los otros puntos de intersección de estas perpendiculares con el incírculo son $M$ y $N$, respectivamente. Muestre que

\[\frac{(\triangle BMD)}{(\triangle CND)}=\frac{DK}{DL}.\]

 Donde $(\triangle XYZ)$ denota el área del triángulo $XYZ$.