Problemiércoles 29

Prueba que entre cualesquiera $2n+1$ números irracionales hay $n+1$ números tales que la suma de cualesquiera $k$ de ellos es irracional, para todo $k \in \{1,2,3,\ldots, n+1 \}$.

Problema martes

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no biseca a $\angle ABC$ ni a $\angle CDA$. El punto $P$ está adentro del cuadrilátero y cumple que $\angle PBC =\angle DBA$ y $\angle PDC =\angle BDA$. Prueba que $ABCD$ es cíclico si y sólo si $AP=CP$.

Problema del día

Sea $n \ge 3$ un entero positivo, y $t_1, t_2, ..., t_n$ números reales positivos tales que: 

\[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\]

Pruebe que $t_i, t_j, t_k$ son longitudes de un tríangulo para todo $i,j,k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$

Problemas del Viernes

1. Sea $n$ un entero positivo impar. Determina el menor entero positivo $m$ para el cual existe una gráfica simple (sin lazos, sin aristas múltiples) con $m$ vértices, tal que un vértice tiene grado 1 y los $m - 1$ vértices restantes tienen grado $n$.

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $P, Q, R, S$ están en los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente de manera que $AB$, $CD$ y $QS$ concurren, y $BC$, $AD$, y $PR$ concurren. Muestra que si dos de las rectas $PQ, RS$ y $AC$ son paralelas, entonces las tres son paralelas entre sí.

3. Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polígono convexo de $n$ lados cuyos vértices son todos puntos con coordenadas enteras, y tal que las medidas de sus lados son enteros impares distintos.

Problema 25 de Junio

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB$ distinto de $AC$. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$ y
$M$ el punto medio de $BC$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ y $E$ un punto en el lado $AC$ tal que  $AE=AD$ y los puntos $D, H, E$ son colineales. Prueba que $HM$ es perpendicular al eje radical de los circulos circunscritos a $ABC$ y $ADE$.

Problemas del 24 de junio

1. Sea $k > 2$ un entero. Ana y Banana juegan un juego. Primero hay un entero $n \geq k$ en un pizarrón. En cada turno, empezando por Ana, borran el numero $m$ en el pizarrón y escribe uno $m'$ tal que $(m,m')=1$ y $k \leq m' < m$. El primer jugador que ya no puede hacer una jugada, pierde. 

Un número $n$ se llama bueno si Banana gana, y malo si no. 

Demuestra que si hay dos enteros $n$ y $n'$ tales que para todo $p$ primo menor o igual a $k$, $p$ divide a $n$ si y solo si $p$ divide a $n'$. Prueba que ambos números son buenos o malos.

2. Determina todas las funciones $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z} $ que cumplan

$\[ f \left( \frac{f(x)+a} {b}\right) = f \left( \frac{x+a}{b} \right) \]$

para toda $x \in \mathbb{Q}$, $a \in \mathbb{Z}$ y $b \in \mathbb{Z}_{>0}$.

Problemiércoles

En un planeta, hay $2^N$ países; $(N \geq 4).$ Cada país tiene una bandera de $N$ de largo y 1 de ancho, es decir, un tablero de $N$ cuadritos con tamaño $1 \times 1,$ cada uno de ellos coloreado rojo o blanco. Se sabe que no hay dos países con la misma bandera. Llamamos a un conjunto de $N$ banderas diverso, si se pueden acomodar las banderas en un tablero de $N \times N$ tal que las $N$ casillas de la diagonal principal (la que empieza en la esquina superior izquierda) tengan el mismo color, ya sea rojo o blanco. Determina el menor entero positivo $M$ tal que entre cualesquiera $M$ banderas distintas, siempre se van a poder encontrar $N$ banderas que hacen un conjunto diverso.

Problemas martes

1. Encuentra tods las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que cumplen que

$$f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y)$$
Para todos $x, y$.

2. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y $\Omega$ su circuncírculo. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B$ y $C$ y que intersecta a $AB$ y $AC$ en $E$ y $D$ respectivamente, sea $O$ el centro de $\omega$. Sea $P$ un punto en el arco mayor $BAC$ de $\Omega$. Prueba que $BD$, $CE$ y $OP$ concurren si y sólo si los triángulos $PBD$ y $PCE$ tienen el mismo incentro.

Problemas Viernes 17

1. Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $7^{7^n} + 1$ es producto de al menos $2n + 3$ primos, no necesariamente distintos.

2. Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y $\ell$ una recta que no pasa por $H$. Sean $D, E, F$ las intersecciones de $\ell$ con $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Sean $\ell_D$, $\ell_E$ y $\ell_F$ las rectas por $D, E$ y $F$ que son perpendiculares a $BC, CA$ y $AB$ por $D, E$ y $F$ respectivamente. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ las intersecciones de $\ell_E$ con $\ell_F$, $\ell_F$ con $\ell_D$ y $\ell_D$ con $\ell_E$, respectivamente, y sea $H_1$ el ortocentro del triángulo $A_1B_1C_1$

Muestra que $\ell$ pasa por el punto medio de $HH_1$.

3. Las filas y columnas de un tablero de $3n \times 3n$ están numeradas $1, 2, \dots, 3n$. Cada cuadrito $(x, y)$ con $1 \leq x, y \leq 3n$ se colorea amarillo, blanco o celeste de acuerdo a si el residuo modulo $3$ de $x + y$ es $0, 1$ o $2$ respectivamente. Una ficha de color amarillo, blanco o celeste se coloca en cada cuadrito, de modo que haya $3n^2$ dichas de cada color.

Supón que es posible permutar las fichas de manera que cada ficha se mueve una distancia de a lo más $d$ de su posición original, cada ficha amarilla reemplaza una ficha blanca, cada ficha blanca reemplaza una ficha celeste, y cada ficha celeste reemplaza una ficha amarilla. Muestra que es posible permutar las fichas de manera que cada ficha se mueve una distancia de a lo más $d + 2$ de su posición original, y cada cuadrito contiene una ficha del mismo color que el cuadrito.

Problemas 16 junio

1. ¿Existirá una sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ que cumpla que
para toda pareja de enteros $n \geq m$ $a_1+a_2+...+a_m$ no divida a $a_{m+1}+...+a_n$?

2. Un entero $m$ es una $k-esima$ potencia si existe un entero $x$ tal que $x^k =m$.
Demuestra que para todo entero $n$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos distintos tal que su suma es una $2009-esima$ potencia y su producto una $2010-esima$ potencia.

3. Encuentra todas las funciones inyectivas de reales a reales tales que para todo real $x$ y todo entero $n$:
$ |\sum_{i=1}^n i(f(x+i+1)-f(f(x+i))| < 2016 $

Prob J 15

1. Sean $ a $, $ b $, $ c $ números reales positivos. Prueba la siguiente desigualdad:
\[ \frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\geq \frac{3}{1+abc}. \]
2. Sea $n > 1$ un entero. Prueba que hay infinitos términos impares en la secuencia $(a_k )_{k\ge 1}$, definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor\] ($\lfloor x\rfloor$ es el máximo entero menor o igual a $x$.)

Problemas martes

1. Considera los polinomios

$$\[f(x) =\sum_{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\quad $$ y

$$\[g(x) =\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{2^{k}-1}x^{k},\quad$$

Donde $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}$ son reales y $n$ entero positivo. Prueba que si $1$ y $2^{n+1}$ son raíces de $g$ entonces $f$ tiene una raíz positiva menor a $2^{n}$.

2. Sea $n$ un entero mayor a $1$. Para un entero positivo $m$ sea $S_{m}=\{ 1,2,\ldots, mn\}$. Supón que existe un conjunto $T$ de $2n$ elementos tal que

$a)$  Cada elemento de $T$ es un subconjunto de $m$ elementos de $S_{m}$,
$b)$ Cada par de elementos de $T$ tiene a lo más un elemento en común, y
$c)$ Cada elemento se $S_{m}$ está contenido en exactamente dos elementos de $T$.

Determina el mayor valor posible de $m$ en términos de $n$.

3. Una red de comunicaciones formada por algunas terminales se llama 3-conectada si para cualesquiera tres terminales, al menos dos de ellas se pueden comunicar directamente. Una red de comunicaciones contiene un molino con $n$ aspas si existen $n$ pares de terminales $\{x_{1},y_{1}\},\{x_{2},y_{2}\},\ldots,\{x_{n},y_{n}\}$ tal que cada $x_{i}$ puede comunicarse de manera directa con su respectivo $y_{i}$ y hay una terminal central que se comunica directamente con cada una de las $2n$ terminales $x_{1}, y_{1},\ldots,x_{n}, y_{n}$. Determina el menor valor posible $f(n)$ en términos de $n$, tal que una red 3-conectada con $f(n)$ terminales siempre contiene un molino con $n$ aspas.

Problema del día.

Hallar todos los enteros positivos  para los cuales existen dos números distintos de  dígitos  y tales que el número de  dígitos  es divisible por el número de  dígitos .

Problema del sabado 11

Encuentra todas las funciones $f$ que van de los reales positivos a los reales positivos tales que:
$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$ para cualquier pareja de reales positivos $x,y$.

10 de Junio

1. Un triángulo equilátero de lado $2016$ se divide en $2016^2$ triángulitos equiláteros de lado $1$ con lineas paralelas a los lados del triángulo. En algunos de los vértices de estos triangulitos se colocan fichas, de manera que no haya dos fichas sobre una linea paralela a algún lado del triángulo. Determina la máxima cantidad de fichas que se pueden colocar.

2. Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un único entero $a$ con $0 \leq a \: \textless \: n!$ que satisface

$$n! \mid a^n + 1$$

3. Sean $a, b, c$ lados de un triángulo. Demuestra que

$$\frac{\sqrt{b + c - a}}{\sqrt{b} + \sqrt{c} - \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{c + a - b}}{\sqrt{c} + \sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a + b - c}}{\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}} \leq 3$$

Problemas del Jueves 9 Junio

1. Sea $ABCDEF$ un hexagono cícico con $AB = BC = CD = DE$. Sea $K$ un punto en el segmento $AE$ que satisface $\angle BKC = \angle KFE$ y $\angle CKD = \angle KFA$. Prueba que $KC = KF$. 

2. Sean $c,d \geq 2$ naturales. Sea $\{ a_n \}$ una secuencia que satisface
$ a_1 =c$, $a_{n+1} = a_n^d + c$ para toda $n$. 
Prueba que para toda $n \geq 2$, existe un primo $p$ tal que
$p | a_n$ y que $p \not | a_i$ para $i=1,2,...,n-1$.

1. En un planeta hay $3\times2005!$ aliens y $2005$ idiomas. Cada pareja de aliens se comunican entre ellos usando exactamente un lenguaje. Demuestra que hay $3$ aliens tales que cada pareja de ellos se comunica con un lenguaje común.

2. Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$. Un a línea que pasa por $B$ interseca a $C_1$ de nuevo en $K$ y a $C_2$ de nuevo en $M$. Una línea paralela a $AM$ es tangente al primer círculo en $Q$. La línea $AQ$ interseca a $C_2$ de nuevo en $R$.

$(a)$ Prueba que la tangente a $C_2$ en $R$ es paralela a $AK$.
$(b)$ Prueba que estas dos tangentes se intersecan en $KM$.

Problema martes

Problema 1. Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ para los cuales la secuencia de enteros positivos $a_{1}, a_{2}, \cdots$, donde $a_{1}=a$, $a_{2}=b$ y
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{mcd(a_{n-1},a_{n-2})}$$
Para $n\geq 3$, está acotada.

Problema 2. Cada arista de un tablero de $m\times n$ está orientada con una flecha de forma que
a) El borde está en sentido horario.
b) Cada vértice interior tiene dos flechas que salen de él, y dos flechas que llegan a él.
Prueba que hay al menos un cuadrado (de $1\times 1$) cuyos lados están en sentido horario.

Problema del Sabado 4

Una disulpa por no poner problema el sabado.

Considera un tablero cuadriculado de $m$ x $n$. Dos cuadros unitarios se llaman adyacentes si tienen algun lado en comun y un "camino" es una secuencia de cuadros unitarios donde cualesquiera dos cuadros consecutivos del camino son adyacentes. Se dice que dos caminos no se intersectan si estos no tienen ningun cuadro en comun. Cada cuadro del tablero se colorea de blanco o negro.
Sea $N$ el numero de coloraciones del tablero tal que existe al menos un camino de puros cuadros
negros que empieza en algun cuadro de la primer columna y termina en alguno de la ultima. Sea $M$ el  numero de coloraciones del tablero tal que existen al menos dos caminos que no se intersectan y ambos consisten de puros cuadros negros ( ambos caminos tambien empiezan en la primer columna y terminan en la ultima).

Prueba que $M*2^{mn} \le N^2$.

Problema 6 de junio.

Encuentra todos los enteros positivos $n>1$, con la siguiente propiedad: para todo $k$, con $0 \le k <n$, existe un múltiplo de $n$ cuya suma de dígitos deja residuo $k$ cuando es dividido entre $n$.

Problemas 3 de Junio

1. Sea $\omega$ una circunferencia y $C$ un punto fuera de ella. Sean $A$ y $B$ puntos distintos sobre $\omega$ tales que $CA$ y $CB$ son tangentes a $\omega$. Sea $X$ la reflexión de $A$ respecto a $B$ y sea $\gamma$ el circuncírculo del triángulo $BXC$. Supón que $\omega$ y $\gamma$ se intersectan en $D \neq B$, y sea $E \neq D$ la intersección de la recta $CD$ con $\omega$. Muestra que $EX$ es tangente a $\gamma$.

2. Sea $n \geq 4$ un entero. Determina todas las funciones $f \colon \{1, 2, \dots, n\}^2 \to \mathbb{R}$ tales que si tres conjuntos $A, B$ y $C$ forman una partición de $\{1, 2, \dots, n\}$ entonces

$$\sum_{a \in A} \sum_{b \in B} \sum_{c \in C} f(a, b)f(b, c) = \vert A \vert \vert B \vert \vert C \vert $$

3. Sea $p$ un primo, y sea $S_p$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes enteros no negativos y menores que $p$, y grado menor que $p$. Supón que para cualesquiera $P, Q \in S_p$ tales que $P(Q(n)) \equiv n \pmod{p}$ para todos los enteros $n$, se cumple que los grados de $P$ y $Q$ son iguales. Determina todos los posibles valores de $p$.

Problema miércoles 1

Sea $S$ el conjunto de los números reales positivos. Encuentra todas las funciones  $f\colon S^3 \to S$ tales que, para todos los reales positivos $x$, $y$, $z$ y $k$, las siguientes tres condiciones se cumplen:

(a) $xf(x,y,z) = zf(z,y,x)$,

(b) $f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z)$,

(c) $f(1, k, k+1) = k+1$.

Problema del día martes

Problema. Sea $P(X)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Prueba que no hay una función $T$ que vaya del conjunto de los enteros al conjunto de enteros tal que el número de enteros $x$ con la propiedad de que $T^{n}(x)=x$, es igual a $P(n)$ para cada $n\geq 1$, donde $T^{n}$ denota la n-ésima aplicación de $T$.

Problema del día.

Sea $ABC$ un triángulo con alturas $AD$ y $BE$ que intesectan en $H$. Sea $M$ el punto medio de $AB$ y supón que los circuncírculos de $DEM$ y $ABH$ se intersectan en $P$ y $Q$ (con $P$ del mismo lado de $A$ con respecto $CH$). Pruebe que las líneas $ED, PH, MQ$ concurren en el circuncírculo de $ABC$.

Problema del dia. Sabado

Encuentra todas las funciones $f$ que van de los reales positivos a los reales positivos, y que cumplen:
$f(x)f(y)=2f(x+yf(x))$ para toda pareja de reales positivos $x,y$

Problemas del Viernes

1. Determina todas las funciones $f \colon \mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+}$ que satisfacen las condiciones

$$f \left(\frac{x}{x + 1}\right) = \frac{f(x)}{x + 1} \quad \text{y} \quad f \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^3}$$

Para todo $x \in \mathbb{Q}^{+}$.

2. Sean $n, k$ enteros positivos con $n \geq 2$ y $k \geq \frac{5n}{2} - 1$, y sea $S = \{(x, y) \vert x, y \in \mathbb{Z}, 1 \leq x, y \leq n\}$ el conjunto de todos los puntos latiz con coordenadas positivas y menores o iguales que $n$. Muestra que entre cualesquiera $k$ puntos de $S$, existen cuatro que son concíclicos.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $P$ un punto en su interior. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ los pies de las perpendiculares desde $P$ hacia $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Determina el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que las rectas $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ concurren, y se satisface la condición

$$\angle PAB + \angle PBC + \angle PCA = 90^{\circ}$$

Problema 26 de Mayo

Demuestra que para toda pareja de enteros positivos $n$ y $m$ con $n \geq m$ se cumple que:
Para cualquier conjunto de $n$ enteros se tiene que existen por lo menos $2^{n-m+1}$ subconjuntos que su suma es $0$ $mod$ $m$. (El conjunto vacío cuenta como uno con suma congruente a $0$ $mod$ $m$)

Maratón fáciles 1

Empezando el maratón que faltaba.

Problema 1. Pruebe que el número $1$ se puede escribir de una infinidad de maneras distintas de la forma: $1=\frac{1}{5} + \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}}$, donde $n, a_{1}, \cdots, a_{n}$ son enteros positivos y $5<a_{1}< \cdots < a_{n}$.

Maratón Difíciles 1

Se supone que debe haber dos maratones más. ¿Quieren empezarlos?

Problema 1. Sea $f$ una función no constante de los enteros positivos a los enteros positivos tal que $a - b$ divide a $f(a) - f(b)$ para cualesquiera enteros positivos distintos $a, b$. Muestra que existe una infinidad de primos $p$ tales que $p$ divide a $f(c)$ para algún entero positivo $c$.

Maratón Teoría de Números 1

Problema 0. Para cualquier entero $n\geq 2$ definimos $A_n$ como el número de enteros positivos $m$ con la siguiente propiedad: la distancia de $n$ al menor múltiplo de $m$ es igual a la distancia de $n^3$ al múltiplo más cercano de $m$. Determina todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales $A_n$ es impar.

Nota: La distancia entre dos enteros $a$ y $b$ es $|a-b|$.

Maratón Combinatoria 1

Problema 0. Un subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ se llama balanceado si para cada $a$ en $S$ hay un $b$ en $S$ distinto de $a$ tal que $\frac{a+b}{2}$ también está en $S$.

a) Sea $k>1$ un entero y $n=2k$. Muestra que cada subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ con más de $\frac{3n}{4}$ elementos es balanceado.

b) ¿Existe un $n=2k$ con $k>1$ un entero para el cual cada subconjunto $S$ de $1,2,\ldots,n$ con más de $\frac{2n}{3}$ elementos es balanceado?

Maratón Álgebra 1

Problema 0. Sea $n>1$ un entero. Encuentra todos los polinomios no constantes de coeficientes reales $P(x)$ que satisfacen para cualquier real $x$ la identidad $P(x)P(x^2)P(x^3) \cdots P(x^n) = P(x^{\frac{n(n+1)}{2}})$

Maratón Geometría 1

Problema 0. $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$. $P$. Las rectas $DA$ y $CB$ se encuentran en $Q$. El punto medio de $AB$ es $E$. Muestra que si $PQ$ es perpendicular a $AC$, entonces $PE$ es perpendicular a $BC$.

Maratones de problemas: Instrucciones

Para entrenar en el blog en los primeros meses de 2016 usaremos Maratones temáticos de problemas. Habrá una entrada por cada uno de los siguientes temas:

1. Algebra
2. Combinatoria
3. Geometría
4. Teoría de números
5. Problemas más fáciles
6. Problemas más difíciles

La dificultad de 1, 2, 3, 4 comenzará siendo como problemas medios de Ibero, o sencillos de IMO/EGMO. La dificultad de 5 será como problemas de nacional o centro. La dificultad de 6 será como difíciles de Ibero o medios de IMO/EGMO. Conforme pase el tiempo, iremos subiendo la dificultad.

Trabajaremos por relevos, en donde cada que alguien resuelve un problema, le toca poner el siguiente. La dinámica es la siguiente. Supongamos que el problema actual es P y fue propuesto por A.

• Si B resuelve P, entonces le toca poner problema a B. Para esto, pondrá una comentario en donde diga "Solución a P" y un enlace a la solución (fotos en dropbox). Después de esto, pondrá "Problema P+1" y escribirá el problema (o pondrá un enlace a él).
• La persona A le echará un ojo a la solución de B y le dará comentarios o retroalimentación.
• Si en 24 horas nadie resuelve P, la persona A sube una sugerencia (en enlace, por si alguien no quiere ver la sugerencia tan rápido).
• Si 48 horas después de la sugerencia nadie resuelve P, la persona A sube la solución y un problema un poco más fácil.

De esta forma, siempre hay 6 problemas simultáneos para trabajar.

Como son maratones, al llegar a 42 problemas se acaba esa entrada y es un gran logro grupal. Se abre una entrada con un nuevo maratón de ese tema. Avísenme si falta escribir algo de lo que platicamos.

Va el problema sugerido por Olga: Dados cuatro puntos en el plano $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ tales que no hay tres de ellos colineales y tales que $A_1A_2\cdot A_3A_4=A_1A_3\cdot A_2A_4=A_1A_4\cdot A_2A_3$ se define como $O_i$ el circuncentro de $A_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$ donde los índices son tomados módulo 4. Suponiendo que $A_i\neq O_i$ para $i=1$, $2$, $3$, $4$, demuestra que las rectas $A_iO_i$ son concurrentes o paralelas.