1er Examen Competencia de invierno 2012

Tienen 30 minutos !!!!  Recuerden el codigo de honor !!!!


1- Cuantos capicuas de  dígitos se pueden formar usando los dígitos , , , , , , ?


2- Puntos distintos , , ,  yacen en una linea, con . Puntos  and  yacen en una segunda linea, paralela a la primera, con . Un triangulo con area positiva tiene 3 de los 6 puntos como sus vertices. Cuantos posibles valores hay para el area del triangulo?


3- Rectángulo  tiene  y .  es el punto medio de la diagonal , y  esta en  con . Cual es el área de ?


4- Triangulo  tiene un angulo recto en , , and . The bisector of  meets  at . What is ?


5- Cual es el residuo cuando  es dividido por 8?


6- Para cada entero positivo , sea . Cual es la suma de todos los valores de  que son números primos?


7- El conjunto  esta definido por los puntos  con coordenadas enteras, , . Cuantos cuadrados de lado al menos  tienen sus 4 vértices en ?


8- Cuantos enteros pares de 3 digitos tienen la propiedad de que sus digitos leidos de izquierda a derecha, estan en orden estrictamente creciente?

9- Circulos con centros  y  tienen radios 2 y 4, respectivamente, y son tangentes exteriormente. Puntos  y  estan en el circulo con centro en , y los puntos  y  estan en el circulo con centro en , tal que  y  son tangentes externas comunes a los circulos. Cual es el area del hexagono ?

10- Un objeto en un plano, se mueve de un punto latice a otro. En cada paso, el objeto se puede mover una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda, una unidad arriba, o una unidad abajo. Si el objeto empieza en el origen y toma un camino de 10 pasos, cuantos puntos diferentes pueden ser el punto final?


11- Sean , ,  enteros positivos con , y , donde  y  son enteros y  no es divisible por . Cual el el mas pequeño valor posible de ?

Muchas felicidades a todos los concursantes y entrenadores que acaban de hacer de este 2011 un año historico

Problema del lunes en martes

Ayer olvidé poner problema. Pero aquí están estos: 1) Let S be a set of n persona such that: (i) any person is acquainted with exactly k other persons in S; (ii) any two persons that are acquainted have exactly l common acquaintances in S; (iii) any tío persons that are not acquainted have exactly m common acquaintances in S. Prove that m(n-k) - k(k-l) + k - m = 0. 2) Let a_1 <= a_2 <= ... <= a_n = m be positive integres. Denote bu b_k the number of those a_i for which a_i >= k. Prove that a_1 + a_2 + ... + a_n = b_1 + b_2 + ... + b_m. 3) Let n be an odd integre greater than 1 and let c_1, c_2, ..., c_n be integers. For each permutation a = (a_1, a_2, ..., a_n) of {1, 2, ..., n}, define S(a) = sum of (c_i)(a_i) from i=1 to n. Prove that there exist not equal permutations a and b of {1, 2, ..., n} such that n! is a divisor of S(a) - S(b).

Problema del dia, Algebra

Un poco tarde, pero todavia es miercoles, asi que aqui les va el problema del dia de algebra.

Sea $d$ un entero positivo. Muestra que para cada entero $S$, existe un entero $n >0$
y una sucesion $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, donde para cualquier $k$, $x_k=1$ o
$x_k=-1$, tal que

$$S= x_1 (1+d)^2 + x_2 (1+2d)^2 + x_3(1+3d)^2 + \dots + x_n (1+nd)^2.$$

Dos de Algebra(Diego)

Pondre dos problemas de algebra

1.Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ tal que $a+b+c=3$. Demostrar

$$ \sum_{cyc} \frac{a}{1+(b+c)^2}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$$

2. Sea $f(x)\in \mathbb Z[x] $ un polinomio monico de grado $2$, sin raices reales, tal que $|f(0)|$ es libre de cuadrados y diferente de $1$. Demuestra que para cualquier $n\in \mathbb Z$, $f(x^n)$ es irreducible en $\mathbb Z[x] $.

Problemas del dia 13 de septiembre

Ahí les van unos problemas sencillones, para entrenar un poco de algebra.
1.- Sea $P(x)$ un polinomio mónico cuadrático, tal que $P(x)$ y $P(P(P(x)))$ tienen una raíz en común. Demuestra que $P(0)*P(1)=0$.
2.-Sea $f(x)=x^2+2007x+1$. Demostrar que para todo entero $n$ la ecuación $f^n(x)=0$ tiene al menos una solución real.
3.-Demuestra que para todos los enteros $a>1$ y $b>1$ existe una función $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tal que
$f(a\cdot f(n))=b\cdot n$ para todo $n$.

Lema de Geo

Aquí pongo un lema que me ha servido en varios problemas "recientes", tal vez ya se lo sepan.

Lema: Sea $ABC$ un triángulo, $X,Y$ los puntos donde el incírculo toca a $AC$ y $AB$ respectivamente, $M$ el punto medio de $CB$, $T$ la circunferencia de diámetro $CB$. Entonces $XY$, la bisectriz del ángulo en $C$, $T$ y la paralela por $M$ a $AC$ concurren.

problema de lunes

Encuentra todos los enteros de la forma 2^n (donde n es un entero positivo) con la propiedad de que, después de eliminar el primer dígito de su representación decimal, obtengamos nuevamente una potencia de 2.

Problema del día.

Dados $n\geq 4 $ puntos en el plano de tal manera que la distancia entre cualesquiera dos de ellos es un entero, demuestra que al menos $\frac{1}{6}$ de estas distancias son divisibles entre 3.

¡A Diego le toca poner problema los miércoles que quedan!

Problema del Viernes

Bueno, como Irving no me puso dia, voy a agarrar el viernes:
Sean $b, m, n$ enteros positivos con $b \textgreater 1$ y $m \neq n$.
Suponga que $b^m-1$ y $b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos.Pruebe que $b + 1$ debe ser potencia de 2.

Problema Combi

Un triángulo de lado $3000$ se divide en $3000^2$ triángulos equiláteros de lado $1$. Los vértices de estos triángulos se colorean con tres colores. Muestra que hay tres vértices del mismo color que son los vértices de un triángulo equilátero con los lados paralelos al triángulo original.

problema del dia 6 de septiembre (Jorge)

Aquí pongo problemas de un estilo a mi parecer típico de la ibero y poco standard en México.

Procuré ponerlos en orden de dificultad.

1.- Encuentra el mayor entero $n$ tal que existen puntos $P_1, P_2,...P_n$ en el plano y reales $r_1, r_2,... r_n$ tal que la distancia entre $P_i$ y $P_j$ es $r_i+r_j$ para todo $i,j$.

2.- Sea $n\geq 2$ un entero y $D_n$ el conjunto de los puntos latiz $(x,y)$ en el plano con $-n\leq x\leq n$, $-n\leq y\ n$.

a) Cada uno de los puntos de $D_n$ se pinta de uno de tres colores. Demuestra que sin importar la coloración existen dos puntos de $D_n$ con el mismo color tal que la recta que los contiene no pasa por ningún otro punto en $D_n$.

b)Encuentra una manera de pintar $D_n$ utilizando cuatro colores tal que toda recta que pase por dos puntos del mismo color pase por al menos tres puntos en $D_n$.

3.- Encuentra todas las $n$ mayores a $3$ tales que existen puntos $P_1,P_2,...P_n$ en el plano (no tres de ellos colineales) y reales $r_1,r_2,...r_n$ tales que el área del triángulo $P_iP_jP_k$ es $r_i+r_j+r_k$.

4.- Sea $s<\frac{1}{2}$ un real positivo. Demuestra que es imposible cubrir un cuadrado unitario con cinco cuadrados iguales de lado $s$.

problema de lunes

es un problema sencillo con un resultado que puede ser útil:

Sea M un punto en el interior del triángulo equilátero ABC y sean A', B', y C' sus proyecciones sobre los lados BC, CA, y AB, respectivamente. Puebe que la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos MAC', MBA' y MCB' es igual a la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos MAB', MBC' y MCA'.

Geometría

Sea $\Delta ABC$ un triángulo de ortocentro $H$ y sea $P$ un punto en su circuncírculo, distinto de $A,B,C$. Sea $E$ el pie de la altura desde $B$. Sean $PARC$ y $PAQB$ paralelogramos, y sea $X$ la intersección de las rectas $AQ$ y $RH$. Pruebe que $AP||EX$.

Problema del dia, Algebra

Muestra que si $0 < r < 1$ y si los numeros complejos $z_1$, $z_2$, $z_3$, $\dots$, $z_n$ estan en el disco $D=\{z : \vert z \vert \leq r\}$, entonces existe un $z_0 \in D$ tal que
$$\prod_{j=1}^{n} (1+z_j) = (1+z_0)^n.$$

Problema del día 29 de Agosto.

Sea $D$ el punto medio de la base $AB$ del triángulo isósceles acutángulo $ABC$. Elegimos un punto $E$ en $AB$, y sea $O$ el circuncentro de $ACE$. Demuestra que la línea por $D$ perpendicular a $DO$, la perpendicular a $BC$ que pasa por $E$ y la paralela a $AC$ que pasa por $B$ concurren.

¡No me han dicho qué días van a poner sus posts! Si no me avisan en la semana, yo les asigno el día a cada uno.

Geometría

Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo con $BC>AC$. Sean $O$ su circuncentro, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $C$. Sea $P$ el punto de intersección de la perpendicular a $OF$ por $F$ con el lado $AC$. Pruebe que $\angle FHP=\angle BAC$.

Problema del día (álgebra): Polinomio irreducible rumano

Demuestra que para todo entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede ser escrito como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Triángulos etiquetados

Un triángulo equilátero se divide en $25$ triángulos iguales etiquetados de $1$ a $25$. Muestra que se pueden encontrar dos triángulos que tienen un lado en común cuyas etiquetas difieren en más de $3$.

Problema del día 22 de Agosto.

Sean $k, t\in \mathbb{N}$, $k,t,\ge 2$, primos relativos. Comenzamos con la permutación $(1,2,...,n)$ y podemos intercambiar de lugar dos enteros si su diferencia es $k$ o $t$. Demuestra que con es posible obtener cualquier permutación de $1,2,...,n$ aplicando cambios permitidos si y sólo si $n\geq k+t-1$.

Entrenamiento para la Ibero

¡Hola a todos! A partir de hoy vamos a retomar el trabajo en el blog para entrenar para la próxima Ibero. El plan es que, como antes, se les ponga a la semana al menos un problema de cada área y que ustedes comenten sus soluciones o lo que llevan del problema. Al parecer funcionó bien la mecánica de que cada uno de los que entrenaron para la IMO pusiera un post cada semana, así que haremos lo mismo en esta ocasión. Entonces, nada más les pido a los cuatro que entre ustedes se pongan de acuerdo qué día quieren y me avisen mañana o pasado. Apenas nos estamos organizando para ver quién les pone problemas cada día, cuando sepa ya bien les aviso.

Y pues, ¡empezamos! ¡Ánimo a todos, recuerden que la meta de este año no es nada menos que la mejor Ibero de la historia de México!

Cuando empezaran a poner problemas?

Sexto entrenamiento - selectivo de ibero

Hola a todos

Les he mandado un correo acerca del siguiente entrenamiento del 11 al 21 de agosto en la UAEM, Cuernavaca Morelos

A unas horas...

Hola a todos

Ya a unas horas del primer examen...

A hacer historia muchachos, ustedes son capaces, no me hagan quedar mal,
yo he dicho publicamente que creo que son mejor delegacion que la del 2006! y por ende
la mejor de Mexico en una IMO.

Método "uvw"

Aquí pongo un artículo que me encontré hace unos días resolviendo este problema "http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1974763&sid=9d5906bdcf48f767086bb648c2cc9fd4#p1974763" es buen método para usar cuando las ideas se acaban a la hora de intentar una desigualdad, de hecho el problema que mencioné salía trivial usándolo. Aquí está el link de donde pueden descargar el artículo "http://www.mediafire.com/?wmyw0wzmwtw".

Problema del día martes

Encontrar todas las funciones suprayectivas tales que van de los naturales a los naturales y que para todos los m,n naturales y p primo, se cumple que p divide a f(m+n) si y solo si p divide a f (m)+f(n)

Técnicas de estudio

Este post va dirigido principalmente a los más experimentados (es decir Leo, Fer, Gato, Niño, Panda, Rogelio, etc) aunque me gustaría escuchar la opinión de todos. En estos últimos días previos a la IMO ¿cuál es la manera más recomendable de entrenar?, y con manera me refiero a: tiempos, tipos de problemas (de short list, ibero, baltic way, etc), temas, teoría, ejercicios, y sobre todo al tema del descanso, ¿es recomendable no entrenar en los días previos a la competencia? si sí ¿cuántos días de descanso están bien?.

@Niño: Me quedé con tu libro de teoría de números, te estuve buscando los últimos días y al final pensé en darselo a alguien de Colima pero se me olvidó. ¿Crees que te lo pueda mandar con alguien de aquí del D.F o que vaya a ir a la IMO?

Problemas del 2 de julio (Jorge)

Me he dado cuenta que varios problemas de Short List, especialmente de algebra, salen con ideas que tienen que ver con los infinitos. Por ejemplo, es muy común ver que cierta cosa se puede acercar o alejar tanto como se quiera de un valor dado, o que podemos repetir un proceso tantas veces como queramos, etc.

Aquí pongo una lista de problemas representativos de dichas ideas:

1.- Considera las funciones $f$ que van de los naturales en los naturales y satisfacen la condición:
$f(m+n)\ge f(m)+f(f(n))-1$
Para todo $m,n$.
Encontrar todos los posibles valores de $f(2007)$.

2.-Encuentra tods las funciones $f$ que van de los reales en los reales y que cumplen que:
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$
Para todo los reales $x,y$

3.- Sea $a_o, a_1, a_2 ...$ una secuancia infinita que cumple $a_{n}=[a_{n+1}-a_{n+2}]$ para todo $n$, y tal que $a_0$ es distinto de $a_1$, y en donde $[x]$ representa el valor absoluto de $x$
¿La secuamcia $a_0, a_1, a_2 ...$ puede estar acotada?

4.- Sea $r\ge 2$ un entero, sea $F$ una familia infinita de conjuntos, cada uno de cardinalidad $r$, tal que cualesquiera dos conjuntos en $F$ se intersectan. Demuestra que existe un conjunto de cardinalidad $r-1$ que intersecta a cada conjunto en $F$.

5.-Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos en los enteros positivos, que cumplan que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ existe un triángulo no degenerado con lados:

$a, f(b)$ y $f(b+f(a)-1)$.

Problema de 1 Julio (Daniel)

Sean a, b, x, y, z reales positivos. Demuestra que

$\frac{x}{ay + bz}+ \frac{y}{az + bx}+ \frac{z}{ax + by} \ge \frac{3}{a + b}$