Muchas felicidades a todos los concursantes y entrenadores que acaban de hacer de este 2011 un año historico

Problema del lunes en martes

Ayer olvidé poner problema. Pero aquí están estos: 1) Let S be a set of n persona such that: (i) any person is acquainted with exactly k other persons in S; (ii) any two persons that are acquainted have exactly l common acquaintances in S; (iii) any tío persons that are not acquainted have exactly m common acquaintances in S. Prove that m(n-k) - k(k-l) + k - m = 0. 2) Let a_1 <= a_2 <= ... <= a_n = m be positive integres. Denote bu b_k the number of those a_i for which a_i >= k. Prove that a_1 + a_2 + ... + a_n = b_1 + b_2 + ... + b_m. 3) Let n be an odd integre greater than 1 and let c_1, c_2, ..., c_n be integers. For each permutation a = (a_1, a_2, ..., a_n) of {1, 2, ..., n}, define S(a) = sum of (c_i)(a_i) from i=1 to n. Prove that there exist not equal permutations a and b of {1, 2, ..., n} such that n! is a divisor of S(a) - S(b).

Problema del dia, Algebra

Un poco tarde, pero todavia es miercoles, asi que aqui les va el problema del dia de algebra.

Sea $d$ un entero positivo. Muestra que para cada entero $S$, existe un entero $n >0$
y una sucesion $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, donde para cualquier $k$, $x_k=1$ o
$x_k=-1$, tal que

$$S= x_1 (1+d)^2 + x_2 (1+2d)^2 + x_3(1+3d)^2 + \dots + x_n (1+nd)^2.$$

Dos de Algebra(Diego)

Pondre dos problemas de algebra

1.Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ tal que $a+b+c=3$. Demostrar

$$ \sum_{cyc} \frac{a}{1+(b+c)^2}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$$

2. Sea $f(x)\in \mathbb Z[x] $ un polinomio monico de grado $2$, sin raices reales, tal que $|f(0)|$ es libre de cuadrados y diferente de $1$. Demuestra que para cualquier $n\in \mathbb Z$, $f(x^n)$ es irreducible en $\mathbb Z[x] $.

Problemas del dia 13 de septiembre

Ahí les van unos problemas sencillones, para entrenar un poco de algebra.
1.- Sea $P(x)$ un polinomio mónico cuadrático, tal que $P(x)$ y $P(P(P(x)))$ tienen una raíz en común. Demuestra que $P(0)*P(1)=0$.
2.-Sea $f(x)=x^2+2007x+1$. Demostrar que para todo entero $n$ la ecuación $f^n(x)=0$ tiene al menos una solución real.
3.-Demuestra que para todos los enteros $a>1$ y $b>1$ existe una función $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tal que
$f(a\cdot f(n))=b\cdot n$ para todo $n$.

Lema de Geo

Aquí pongo un lema que me ha servido en varios problemas "recientes", tal vez ya se lo sepan.

Lema: Sea $ABC$ un triángulo, $X,Y$ los puntos donde el incírculo toca a $AC$ y $AB$ respectivamente, $M$ el punto medio de $CB$, $T$ la circunferencia de diámetro $CB$. Entonces $XY$, la bisectriz del ángulo en $C$, $T$ y la paralela por $M$ a $AC$ concurren.

problema de lunes

Encuentra todos los enteros de la forma 2^n (donde n es un entero positivo) con la propiedad de que, después de eliminar el primer dígito de su representación decimal, obtengamos nuevamente una potencia de 2.

Problema del día.

Dados $n\geq 4 $ puntos en el plano de tal manera que la distancia entre cualesquiera dos de ellos es un entero, demuestra que al menos $\frac{1}{6}$ de estas distancias son divisibles entre 3.

¡A Diego le toca poner problema los miércoles que quedan!

Problema del Viernes

Bueno, como Irving no me puso dia, voy a agarrar el viernes:
Sean $b, m, n$ enteros positivos con $b \textgreater 1$ y $m \neq n$.
Suponga que $b^m-1$ y $b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos.Pruebe que $b + 1$ debe ser potencia de 2.

Problema Combi

Un triángulo de lado $3000$ se divide en $3000^2$ triángulos equiláteros de lado $1$. Los vértices de estos triángulos se colorean con tres colores. Muestra que hay tres vértices del mismo color que son los vértices de un triángulo equilátero con los lados paralelos al triángulo original.

problema del dia 6 de septiembre (Jorge)

Aquí pongo problemas de un estilo a mi parecer típico de la ibero y poco standard en México.

Procuré ponerlos en orden de dificultad.

1.- Encuentra el mayor entero $n$ tal que existen puntos $P_1, P_2,...P_n$ en el plano y reales $r_1, r_2,... r_n$ tal que la distancia entre $P_i$ y $P_j$ es $r_i+r_j$ para todo $i,j$.

2.- Sea $n\geq 2$ un entero y $D_n$ el conjunto de los puntos latiz $(x,y)$ en el plano con $-n\leq x\leq n$, $-n\leq y\ n$.

a) Cada uno de los puntos de $D_n$ se pinta de uno de tres colores. Demuestra que sin importar la coloración existen dos puntos de $D_n$ con el mismo color tal que la recta que los contiene no pasa por ningún otro punto en $D_n$.

b)Encuentra una manera de pintar $D_n$ utilizando cuatro colores tal que toda recta que pase por dos puntos del mismo color pase por al menos tres puntos en $D_n$.

3.- Encuentra todas las $n$ mayores a $3$ tales que existen puntos $P_1,P_2,...P_n$ en el plano (no tres de ellos colineales) y reales $r_1,r_2,...r_n$ tales que el área del triángulo $P_iP_jP_k$ es $r_i+r_j+r_k$.

4.- Sea $s<\frac{1}{2}$ un real positivo. Demuestra que es imposible cubrir un cuadrado unitario con cinco cuadrados iguales de lado $s$.

problema de lunes

es un problema sencillo con un resultado que puede ser útil:

Sea M un punto en el interior del triángulo equilátero ABC y sean A', B', y C' sus proyecciones sobre los lados BC, CA, y AB, respectivamente. Puebe que la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos MAC', MBA' y MCB' es igual a la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos MAB', MBC' y MCA'.

Geometría

Sea $\Delta ABC$ un triángulo de ortocentro $H$ y sea $P$ un punto en su circuncírculo, distinto de $A,B,C$. Sea $E$ el pie de la altura desde $B$. Sean $PARC$ y $PAQB$ paralelogramos, y sea $X$ la intersección de las rectas $AQ$ y $RH$. Pruebe que $AP||EX$.

Problema del dia, Algebra

Muestra que si $0 < r < 1$ y si los numeros complejos $z_1$, $z_2$, $z_3$, $\dots$, $z_n$ estan en el disco $D=\{z : \vert z \vert \leq r\}$, entonces existe un $z_0 \in D$ tal que
$$\prod_{j=1}^{n} (1+z_j) = (1+z_0)^n.$$

Problema del día 29 de Agosto.

Sea $D$ el punto medio de la base $AB$ del triángulo isósceles acutángulo $ABC$. Elegimos un punto $E$ en $AB$, y sea $O$ el circuncentro de $ACE$. Demuestra que la línea por $D$ perpendicular a $DO$, la perpendicular a $BC$ que pasa por $E$ y la paralela a $AC$ que pasa por $B$ concurren.

¡No me han dicho qué días van a poner sus posts! Si no me avisan en la semana, yo les asigno el día a cada uno.

Geometría

Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo con $BC>AC$. Sean $O$ su circuncentro, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $C$. Sea $P$ el punto de intersección de la perpendicular a $OF$ por $F$ con el lado $AC$. Pruebe que $\angle FHP=\angle BAC$.

Problema del día (álgebra): Polinomio irreducible rumano

Demuestra que para todo entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede ser escrito como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Triángulos etiquetados

Un triángulo equilátero se divide en $25$ triángulos iguales etiquetados de $1$ a $25$. Muestra que se pueden encontrar dos triángulos que tienen un lado en común cuyas etiquetas difieren en más de $3$.

Problema del día 22 de Agosto.

Sean $k, t\in \mathbb{N}$, $k,t,\ge 2$, primos relativos. Comenzamos con la permutación $(1,2,...,n)$ y podemos intercambiar de lugar dos enteros si su diferencia es $k$ o $t$. Demuestra que con es posible obtener cualquier permutación de $1,2,...,n$ aplicando cambios permitidos si y sólo si $n\geq k+t-1$.

Entrenamiento para la Ibero

¡Hola a todos! A partir de hoy vamos a retomar el trabajo en el blog para entrenar para la próxima Ibero. El plan es que, como antes, se les ponga a la semana al menos un problema de cada área y que ustedes comenten sus soluciones o lo que llevan del problema. Al parecer funcionó bien la mecánica de que cada uno de los que entrenaron para la IMO pusiera un post cada semana, así que haremos lo mismo en esta ocasión. Entonces, nada más les pido a los cuatro que entre ustedes se pongan de acuerdo qué día quieren y me avisen mañana o pasado. Apenas nos estamos organizando para ver quién les pone problemas cada día, cuando sepa ya bien les aviso.

Y pues, ¡empezamos! ¡Ánimo a todos, recuerden que la meta de este año no es nada menos que la mejor Ibero de la historia de México!

Cuando empezaran a poner problemas?

Sexto entrenamiento - selectivo de ibero

Hola a todos

Les he mandado un correo acerca del siguiente entrenamiento del 11 al 21 de agosto en la UAEM, Cuernavaca Morelos

A unas horas...

Hola a todos

Ya a unas horas del primer examen...

A hacer historia muchachos, ustedes son capaces, no me hagan quedar mal,
yo he dicho publicamente que creo que son mejor delegacion que la del 2006! y por ende
la mejor de Mexico en una IMO.

Método "uvw"

Aquí pongo un artículo que me encontré hace unos días resolviendo este problema "http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1974763&sid=9d5906bdcf48f767086bb648c2cc9fd4#p1974763" es buen método para usar cuando las ideas se acaban a la hora de intentar una desigualdad, de hecho el problema que mencioné salía trivial usándolo. Aquí está el link de donde pueden descargar el artículo "http://www.mediafire.com/?wmyw0wzmwtw".

Problema del día martes

Encontrar todas las funciones suprayectivas tales que van de los naturales a los naturales y que para todos los m,n naturales y p primo, se cumple que p divide a f(m+n) si y solo si p divide a f (m)+f(n)

Técnicas de estudio

Este post va dirigido principalmente a los más experimentados (es decir Leo, Fer, Gato, Niño, Panda, Rogelio, etc) aunque me gustaría escuchar la opinión de todos. En estos últimos días previos a la IMO ¿cuál es la manera más recomendable de entrenar?, y con manera me refiero a: tiempos, tipos de problemas (de short list, ibero, baltic way, etc), temas, teoría, ejercicios, y sobre todo al tema del descanso, ¿es recomendable no entrenar en los días previos a la competencia? si sí ¿cuántos días de descanso están bien?.

@Niño: Me quedé con tu libro de teoría de números, te estuve buscando los últimos días y al final pensé en darselo a alguien de Colima pero se me olvidó. ¿Crees que te lo pueda mandar con alguien de aquí del D.F o que vaya a ir a la IMO?

Problemas del 2 de julio (Jorge)

Me he dado cuenta que varios problemas de Short List, especialmente de algebra, salen con ideas que tienen que ver con los infinitos. Por ejemplo, es muy común ver que cierta cosa se puede acercar o alejar tanto como se quiera de un valor dado, o que podemos repetir un proceso tantas veces como queramos, etc.

Aquí pongo una lista de problemas representativos de dichas ideas:

1.- Considera las funciones $f$ que van de los naturales en los naturales y satisfacen la condición:
$f(m+n)\ge f(m)+f(f(n))-1$
Para todo $m,n$.
Encontrar todos los posibles valores de $f(2007)$.

2.-Encuentra tods las funciones $f$ que van de los reales en los reales y que cumplen que:
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$
Para todo los reales $x,y$

3.- Sea $a_o, a_1, a_2 ...$ una secuancia infinita que cumple $a_{n}=[a_{n+1}-a_{n+2}]$ para todo $n$, y tal que $a_0$ es distinto de $a_1$, y en donde $[x]$ representa el valor absoluto de $x$
¿La secuamcia $a_0, a_1, a_2 ...$ puede estar acotada?

4.- Sea $r\ge 2$ un entero, sea $F$ una familia infinita de conjuntos, cada uno de cardinalidad $r$, tal que cualesquiera dos conjuntos en $F$ se intersectan. Demuestra que existe un conjunto de cardinalidad $r-1$ que intersecta a cada conjunto en $F$.

5.-Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos en los enteros positivos, que cumplan que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ existe un triángulo no degenerado con lados:

$a, f(b)$ y $f(b+f(a)-1)$.

Problema de 1 Julio (Daniel)

Sean a, b, x, y, z reales positivos. Demuestra que

$\frac{x}{ay + bz}+ \frac{y}{az + bx}+ \frac{z}{ax + by} \ge \frac{3}{a + b}$

Problema del día (Georges)

Un triángulo es dividido por sus 3 medianas en 6 triangulos mas pequeños. Demuestra que los circuncentros de estos 6 triangulos son conciclicos.

PROBLEMA DEL DIA: 16 DE JUNIO (MANUEL)

Ayer ya no pude ponerlo, pero aquí ya está:

Prueba que para toda terna a, b, c de reales positivos se cumple la desigualdad siguiente:

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1$

Problema del Miercoles (Diego)

Sea $\tau(n)$ el numero de divisores positivos de $n$. Determina cuales enteros positivos $m$ se cumple que existe un entero positivo $n$ tal que $$\frac{\tau(n^2)}{\tau(n)}=m$$.

Preparen un tema para el entrenamiento

Hola, primero que nada, quiero felicitarlos por el excelente trabajo que han estado haciendo en el blog, es claro que están motivados y van con todo a la IMO, sigan así, ya falta poco.

Para este entrenamiento en Colima, quizás haya alguna sesión donde uds serán los expositores, así que preparen algún tema de su predilección, no importa si es teoría o algún problema interesante, solo que sea algo que crean les pueda servir a sus compañeros, preparen algo de un mínimo de 1 hora y un máximo de 2 horas, yo creo si tendremos tiempo para que todos expongan, así que preparen algo interesante, pensando como entrenadores.

Bueno, nos vemos en unos días en Colima !!

Panda

Problema del dia

Para que enteros positivos $k$, es verdad que hay infinitas parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que $\frac{(m+n-k)!}{m!n!}$ es un entero.

Problema del día

Encuentra todas las funciones no decrecientes $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ tal que:
$ f(0) = 0, f(1) = 1; $
$ f(a)+f(b) = f(a)f(b)+f(a+b-ab) $ para todos los reales $a,b$ tales que $ a < 1 < b $

Problema del día sábado 11 de junio (Jorge)

Sea $a_0, a_1, a_2...$ una secuencia infinita de reales positivos. Demuestra que la desigualdad $1+a_n>a_{n-1}\sqrt[n]{2}$ es cierta para una infinidad de naturales $n$.

Problema del 10 de junio (Daniel)

Se marcan algunas casillas de un tablero de $(n^2+n+1)$x$(n^2+n+1)$. Si no hay cuatro casillas marcadas que formen un rectángulo de lados paralelos a los de la cuadrícula, demostrar que el número de casillas marcadas no excede $(n+1)$x$(n^2+n+1)$.

PROBLEMA DEL DIA: 09 DE JUNIO (MANUEL)

Ambos de la shortlist IMO 1991

1) Sea ABC un triángulo y P un punto en su interior. Muestra que alguno de los ángulos PAB, PBC y PCA es menor o igual a 30°.

2) Dado un triángulo ABC, sea I su incentro. Las bisectrices internas de los ángulos A, B, C intersectan a los lados opuestos en D, E y F, respectivamente. Muestra que $\frac{1}{4}<\frac{AI*BI*CI}{AD*BE*CF}\leq \frac{8}{27}$

Entrenamiento

Hola a todos

El entrenamiento para los IMO sera del 18 al 26 de junio en Colima.

Saludos

Rogelio

Problema del Miercoles (Diego)

Sea $c>2$, y sea $a(1), a(2), \cdot $ una secuencia de reales no negativos tal que
\[ a(m+n)\leq 2\cdot a(m)+2\cdot a(n)\forall m,n\geq 1, \]
y $\displaystyle a\left(2^{k}\right)\leq\frac{1}{(k+1)^{c}}\forall k\geq 0.$ Demuestra que existe un $M\in\mathbb{R}^+$, tal que $M\geq a(n)\forall n\geq 0$.

Problema del día (Georges)

Encuentra todas las fuciones $ f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+} $ que tienen la propiedad \[ f\left(x\right)f\left(y\right) = 2f\left(x+yf\left(x\right)\right) \] para todos los números reales $x$ y $y$

Varios problemas del día (Centros)

1) En la escuela de Octavio, la maestra de matemáticas puso el siguiente problema: Se tiene una primera lista de números $L_1=\{1,2,3,...,2006\}$. La lista nueva se hace poniendo las sumas y las restas de cada pareja de números en la lista anterior. Sea $A_n$ la suma de los números en la $n$-ésima lista $L_n$ y sea $B_n$ la cantidad de números en la $n$-ésima lista $L_n$. Muestra que 2$A_{2008}B_{2009}=3A_{2009}B_{2008}$.

Juan no sabe si los números repetidos en la lista se cuentan una o varias veces, entonces decide preguntar a la maestra. Ella responde que no importa, pues en ambos casos el problema es cierto. Demuestra que la maestra tiene razón.

2)En un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$, se definen los puntos $O_A,O_B,O_C$ como los circuncentros de los triángulos $OBC$, $OCA$ y $OAB$, respectivamente. Determinar condiciones necesarias y suficientes en el triángulo $ABC$ para que $O_AO_BO_C$ sea un triángulo equilátero.

3) Se tiene un triángulo equilátero de lado $n$ dividido en $n^2$ triangulitos equiláteros de lado 1 de la forma usual. Se quiere colocar tres fichas, cada una en casillas distintas, de manera tal que no haya dos casillas vecinas con ficha. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Dos casillas son vecinas si comparten un lado y dos acomodos se consideran distintos aunque uno pueda obtener el otro rotando o reflejando)

4) Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida de la siguiente forma:

\[a_1=1\\\ a_2=1,\\\ a_3=2,\\\ a_{n+3}=a_{n+2}+a_n.\]

Probar que para todo entero positivo $n$ existen enteros positivos $i,j,k,m$, no necesariamente distintos, tales que $a_{2n}=a_i^2+a_j^2+a_k^2-a_m^2$.

LATEX e IMO's

¿Cómo puedo instalar LATEX a un blog? Agradecería mucho que alguien me dijera.

¿Ya saben cuando y donde tendremos entrenamientos los IMO's?

Conocimiento común

a) Fer y Leo juegan un juego. Fer tiene un real positivo $a$ escrito en la frente y Leo tiene un real positivo $b$ escrito en la frente. Así que Fer conoce $b$ pero no conoce $a$ y viceversa con Leo. Panda escribe dos números en el pizarrón, de tal manera que uno de ellos sea $a+b$ y que Leo y Fer no sepan cuál de ellos es $a+b$. Además no se pueden comunicar entre ellos.

Cada hora Panda suena una campana y pregunta si alguno de los dos ya sabe cuánto vale $a+b$ si nadie responde afirmativamente continúa el juego (no pueden mentir).

Supón que Leo y Fer son inteligentes :) y que ambos saben que el otro es inteligente, además supón que el lapso entre cualesquiera dos campanadas les da suficiente tiempo para hacer todos los razonamientos necesarios.

Demuestra que después de un número finito de campanadas alguno de los dos conocerá su número.

b) Generalízalo para cuando hay $n$ personas cada una con un real positivo escrito en la frente, en el pizarrón hay $n$ números donde uno de ellos es la suma de los $n$ números de las personas. Haz las mismas suposiciones que para el caso $n=2$

Problemas del día sábado 4 de junio (Jorge)

Sea $P$ uno de los puntos de intersección de dos circunferencias con centro $O_1$ y $O_2$, una tangente común toca a los círculos en los puntos $A$ y $B$. La perpendicular desde $A$ a la recta $BP$ intersecta a $O_{1}O_{2}$ en $C$. Demuestra que $AP$ es perpendicular a $PC$.

Problema del 3 de Junio (Daniel)

Sean a,b,c números reales positivoscon abc=1. Prueba que:

$1+ 3/(a+b+c) \ge 6/(ab+bc+ca) $

PROBLEMA DEL DIA: 02 DE JUNIO (MANUEL)

1) ¿Es posible encontrar un entero N tq si a y b son enteros a la misma distancia de N/2 (es decir, N/2-a=b-N/2) y que exactamente uno de a o b puede ser escrito como 19m+85n para algunos enteros positivos n,m?

2) Hay 1985 personas en un cuarto. Cada una habla a lo más 5 lenguajes. Dadas cualesquiera 3 personas, almenos dos de ellas tienen un lenguaje en común. Prueba que hay algún lenjuaje hablado por almenos 200 personas.

3) Dado un triángulo ABC, sea P un pto dentro de él. Sean D, E, F las proyecciones de P en BC, AC y AB, respectivamente. Si $AP^{2}+PD^{2}=BP^{2}+PE^{2}=CP^{2}+PF^{2}$. Muestra que P es el circuncentro del triángulo formado por los excentros del triángulo ABC.

4) Dados reales positivos a,b,c; encuentra las soluciones (x,y,z) para las ecuaciones $ax+by=(x-y)^{2},\:by+cz=(y-z)^{2},\:cz+ax=(z-x)^{2}$

El tercero es un IMO no tan dificil, pero quiero ver si a alguien se le ocurre alguna slución con las isogonales de Jacobi que puso Jorge el otro día, porque presenta la construcción de ese teorema.
El cuarto no he podido hacerlo.

Problema del dia: 2 de Junio (Centros)

Encuentra un conjunto infinito de enteros positivos, tal que la suma de cualquier numero finito de elementos distintos del conjunto no es un cuadrado.

Entrenamiento

Ya tienen el lugar y los dias oficiales del entrenamiento de los imo's?

Problema del día 31 de MAyo (Centros)

En un triángulo $ABC$, el punto medio de $BC$ es $L$. La bisectriz de $\angle CLA$ corta a $AC$ en $M$ y la de $\angle BLA$ corta a $AB$ en $N$. El circuncírculo de $LMN$ corta de nuevo a $AL$ en $X$ y a $BC$ en $Y$. La recta $XY$ corta a las rectas $LM$ y $LN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que $NP$ y $MQ$ son perpendiculares.

Problema del Miercoles (Diego)

Mañana probablemente estaré ocupado, así que pondré el problema hoy.

Tenemos una maquina que le cambia el cerebro a dos personas. Pero tiene un problema, entre dos cuerpos nada mas puede cambiarles el cerebro una vez.

Un centro de investigación de neurología utiliza $M$ veces la maquina en un grupo de $N$ personas, antes de darse cuenta del problema. Para resolver el problema deciden contratar a $p$ personas para usarlos en el intercambio de cerebro para que todos los cerebros terminen en su cuerpo. Dado que estas personas nunca han usado la maquina, cual es el menor $p$ con el que pueden asegurarles a las personas que las pueden devolver los cerebros a sus cuerpos originales (incluyendo a las $p$ personas)

Problema del martes (Flavio)

Un número se llama amable si se puede escribir como $m + (m + 1) + ... + (n - 1) + n$ para enteros positivos con $m$ menor a $n$. Por ejemplo: 18 es amable, ya que 18 = 5 + 6 + 7. Un número se llama potencia de dos si se puede escribir como $2^l$ para algún entero $l\ge0$.
(a) Demostrar que ningún número es a la vez amable y una potencia de dos.
(b) Demostrar que todo entero positivo es amable o una potencia de dos.

Problema del Lunes 30 de Mayo (Georges)

Aqui esta un día atrasado.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $x,y$ tales que $x+y+1$ divide a $2xy$ y $x+y-1$ divide a $x^2+y^2-1$

Problema del dia Lunes 30 de Mayo (Centros)

Una representación chida de un entero positivo n, es una representación de n como suma de potencias de 2, con cada potencia apareciendo a lo mas 2 veces.
Por ejemplo,  5 = 4 + 1 = 2 + 2 + 1.
Cuales enteros positivos tienen un numero par de representaciones chidas? 

Lema para polinomios cuadráticos

Me di cuenta que el problema 1 que puse se puede generalizar en un lema que se ve muy fuerte.

Aquí lo pongo para quien quiera intentar demostrarlo.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $2$ con coeficientes enteros. Demuestra que existen una infinidad de primos $p$ tal que $P(n)$ es múltiplo de $p$ para algún entero $n$.

Problemas del día sábado 28 de mayo (Jorge)

Me quedé sin internet y por eso no subí ayer el problema del día.

En la semana me encontré con algunos problemas que están relacionados con la distribución de los primos y me parecieron interesantes. Aquí los pongo en orden de dificultad (según yo):

1.- Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que existen $n$ enteros $k_1, k_2\ldots k_n$ mayores que uno y primos relativos por parejas, tales que el número $k_1k_2\ldots k_n-1$ se puede expresar como producto de dos enteros consecutivos.

2.- Decimos que una pareja ordenada $(m,n)$ es una pareja chilanga si $n>m>1$ y cumple que $m$ tiene los mismos divisores primos que $n$ y $m+1$ tiene los mismos divisores primos que $n+1$. Demuestra que existen una infinidad de parejas chilangas.

3.-Sea $n$ un entero positivo, definimos $f(n)$ como el número de primos distintos que dividen a $n$. Demuestra que existen una infinidad de enteros positivos $m$ tal que $f(m+2)>f(m+1)>f(m)$.

4.- Para todo entero positivo $d$, demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$, tal que $d(n!)-1$ es un número compuesto.

OTRO PROBLEMA (MANUEL)

Sean reales tales que , muestra que $\[ \frac{x(x+2)}{2x^{2}+1}+\frac{y(y+2)}{2y^{2}+1}+\frac{z(z+2)}{2z^{2}+1}\ge 0 \]$.

¿Cuándo ocurre la igualdad?

Este es de la BMO 2011

Problema del día 26 de Mayo (Centros)

En cada vértice de un cuadrado se pone una piedra. Un movimiento consiste en elegir un vértice y quitar cualquier cantidad de piedras, luego, agregamos el doble de las que quitamos a un vértice adyacente al primero. ¿Es posible llegar a tener 2011, 2010, 2012, 2011 piedras en los vértices (en ese orden)?

Ah, también aprovecho para avisarles como va a estar lo de la ida. Adán y Juán se van en autobús a Colima el día 16, Enrique y yo llegaremos el 17 como a medio día más o menos. El vuelo sale de Toluca, a las 7:00AM, el 17.

PROBLEMA DEL DIA: 26 DE MAYO (MANUEL)

El primero es el 6 del TST de China 2011, no he podido hacerlo pero se ve muy interesante, el segundo, es lo que entendí primero que pedía el problema, y tiene una solución medio sencilla:

1) TST: Sea $n\geq 2$ un entero. Tomamos n+1 enteros tal que $0 = a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n = 2n-1$. Sea $X=\{ a_i+a_j | 0\leq i\leq j\leq n\}$. Determina la mínima cantidad de elementos distintos en X

MI VERSION: Lo mismo pero determina la máxima cantidad de elementos distintos en X.

Problemas del 24 y 25 de Mayo (Centros)

1) Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio de $AB$, $H$ el pie de la altura desde $C$ y $P$ un punto dentro del triángulo tal que $AP=AC$. Demuestra que $PM$ biseca al $\angle BPH$ si y sólo si $\angle A=60^{\circ}.$

2) Sea $\{a_n\}$ una sucesión con $a_1=43$, $a_2=142 $ y $a_{n+2}=3a_{n+1}+a_n$ para $n\geq 1$. Demuestra que para todo $n$, $(a_n,a_{n+1})=1$ y que para todo entero positivo $m$, existen infinitos naturales $n$ tales que $m$ divide a $a_n-1$ y a $a_{n+1}-1.$

Problema del 25 de Mayo (Diego)

Sean $a,b,c\in\mathbb{R}^+$, tal que $a+b+c=1$. Demuestren que:

$$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+b}}\leq\frac{3}{2}$$

Problema del 27 Mayo (Daniel)

Mañana salgo de viaje asi que de una vez pongo los problemas del viernes:

1) Sean, $a, b$ y $c$ las longitudes de un triangulo acutangulo. Demuestra que
$\sqrt{a^2+b^2-c^2}\sqrt{a^2-b^2+c^2}+$
$\sqrt{b^2+c^2-a^2}\sqrt{b^2-c^2+a^2}+$
$\sqrt{c^2+a^2-b^2}\sqrt{c^2-a^2+b^2} \le ab+bc+ca$

2)Encuentra todas las parejas $(n,p)$ de enteros positivos con $p$ primo, $n \le 2p$ y tales que $n^{p-1}$ divide a $(p-1)^n + 1$

Problema Martes 24 de Mayo

Encontrar todas las funciones $f:\mathds{N} \rightarrow \mathds{R}$ tales que:
(i) $f(n+1)\ge f(n)$ para toda $n\ge 1$
(ii) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos los naturales $m$ y $n$ con $(m,n)=1$

Problema del día 23 de Mayo (Centros)

Sean $a$ y $b$ entreros positivos con $a\ge 2$ y $b\ge 3$. Demuestra que $a^b+1\geq b(a+1)$ y determina cuándo se da la igualdad.

Problemas del 21 y 22 de Mayo (Centros)

1) Sea $M$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. La bisectriz del $\angle ACD$ corta al rayo $BA$ en $K$. Si $MA\cdot MC+MA\cdot CD=MB\cdot MD$, prueba que $\angle BKC=\angle CDB.$

2)En un país con 2000 ciudades se quiere construir una nueva red de caminos para comunicarlas. ¿Es posible hacer esto de manera tal que haya exactamente dos ciudades a las que llegue un camino, exactamente dos ciudades a las que lleguen dos caminos,..., exactamente dos ciudades a las que lleguen 1000 caminos?

Problema 2 del día sábado 21 de mayo (Jorge)

Pongo otro para los que ya hayan visto la solución del otro que puse hoy, que por lo que dice Flavio serán la mayoría. Éste me pareció bonito y un poco raro.

Sean $0\leq\alpha<\beta\leq1$ reales. Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $\alpha<\frac{\phi(n)}{n}<\beta$.

Donde $\phi(n)$ es la función de Euler.

Infinidad de números primos

El otro día me encontré este artículo y me pareció interesante:

"http://www.miscelaneamatematica.org/Misc44/marianito_r.pdf"

Espero que a ustedes les guste también. En general los artículos de esta página:

"http://www.miscelaneamatematica.org/" son interesantes, son de divulgación de las matemáticas pero a un nivel más avanzado, y abordan temas muy variados.

Problema del día sábado 21 de mayo (Jorge)

a) Sea $n>1$ un número entero, y sea $p$ un primo que divide a $2^{2^n}+1$.

Demostrar que $p-1$ es múltiplo de $2^{n+2}$.

b) Demostrar que existen infinitas parejas de primos $(p,q)$ tal que $p$ divide a $2^{q-1}-1$ y $q$ divide a $2^{p-1}-1$.

APMO

NOOOOO... A UN PUNTO DE PLATA Y SI ME SALIA EL PROBLEMA DOS ORO Y MEXICO MEDALLERO COMPLETO!!!

AQUI ESTAN LOS RESULTADOS DE LA APMO, 3 PLATAS, 4 BRONCES, 3 MENCIONES HONORIFICAS MEXICO LUGAR 14

http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO/

Problema del 20 Mayo (Daniel)

Sea I el incentro del triangulo ABC Y sean X,Y,Z los incentros de los triangulos BIC, CIA y AIB respectivamente. Demuestra quesi XYZ es equilatero ABC también es equilatero.

Sea ABCD un cuadrilatero circunscrito (creo asi se dice, con una cicunferencia tangente a los 4 lados) sea g una linea por A que intersecta a BC en M y CD en N. Sean I1,I2,I3 los incentros de los tiangulos ABM, MNC y NDA respectivamente, demuestra que el ortocentro del I1I2I3 esta en G.

Los dos son short list del 2009, el primero no me ha salido.

IMO'S

¿Se sabe ya algo sobre nuestros entrenamientos? ¿Fecha o lugar?
Pura curiosidad, nada urgente.

Simposio de la Centro

¡Hola a todos!

No sé si estén enterados los que van a la Centro, pero habrá antes de la competencia un simposio los días 17 y 18 de Junio. La idea es que ustedes puedan aprovecharlo, entonces no llegaremos el 19, como habíamos dicho antes, sino el 16. Pero el plan sí sería el mismo, Enrique y yo volamos a Guadalajara y ahí encontramos a Juan y Adán para tomar un autobús a Colima. Cuando ya tenga los itinerarios de los vuelos nos ponemos de acuerdo a qué hora y dónde enontrarnos allá en Guadalajara.

¡Mientras tanto sigan entrenando! ¡Recuerden que la meta son tres oros, ánimo!

Problema del día: 19 de Mayo (Centros)

S es un subconjunto de {1,2,3,......,1000} tal que si m y n son elementos distintos de S, entonces m+n  no pertenece a S.
¿Cual el el numero mas grande de elementos que puede tener S?

PROBLEMA DEL DIA: 19 DE MAYO (Manuel)

Sea ABCD un cuadrilátero. Sea X un punto dentro de dicho cuadrilátero. $AX^{2}+BX^{2}+CX^{2}+DX^{2}$ es el doble del área del cuadrilátero. Determina para que cuadriláteros y qué puntos dentro de ellos se cumple la condición.

Problema del día 18 de Mayo (Centros)

Demuestra que se cumple
\[ \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(a+c)}+\frac{1}{1+c^{2}(b+a)}\le\frac{1}{abc} \]

para reales positivos $a,b,c$ con $ab+bc+ca=3$.


Teorema de Waring

Sea $f:\mahtbb{N}_0\to\mahtbb{N}_0$ un polinomio y $d=\gcd_{k\in\mahtbb{N}_0} f(k)$. Entonces existen constantes $N$ y $k$ tal que, para todo $n\geq N$, $nd=\sum_{i=1}^k f(a_i)$, para algunas $a_i\in \mahtbb{N}_0 \forall i$.

En particular, si $0$ y $1$ estan en el dominio de $f$, se tiene que $N=0$.

Problema de día 17 de Mayo (Centros)

Se tienen 2000 pelotas blancas en una caja. También se tiene un suministro inagotable de pelotas blancas, verdes y rojas. En cada turno podemos reemplazar dos pelotas de la caja con una o dos pelotas de acuerdo a las siguientes reglas: Dos blancas con una verde, dos rojas con una verde, dos verdes con una blanca y una roja, una blanca y una verde con una roja o una verde y una roja con una blanca.

$(i)$ Si después de hacer algunos cambios quedan tres pelotas en la caja, demuestra que al menos una de ellas es verde.

$(ii)$ ¿Es posible hacer algunos cambios de tal manera que quede sólo una pelota en la caja?

Problema del día 16 de Mayo (Centros)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $AD$ la altura desde $A$. Sea $E$ un punto en el segmento $AD$ de tal manera que $\angle BEC=90^{\circ}$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de $BAE$ y $CAE$, respectivamente. Si $F$ es el punto medio de $BC$ y $G$ es el punto medio de $O_1O_2$, demuestra que $E$, $F$ y $G$ son colineales.

Problema del día 16 de mayo (Georges)

Sea $P$ un punto adentro del cuadrilátero $ABCD$. Los puntos $Q_{1}$ y $Q_{2}$ se encuentran adentro de $ABCD$ de tal forma que

$ \angle Q_{1}BC=\angle ABP,\angle Q_{1}CB=\angle DCP$
$\angle Q_{2}AD=\angle BAP,\angle Q_{2}DA=\angle CDP. $

Demuestra que $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{AB} $ si y solo si $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{CD} $

Problema del día 15 de Mayo (Centros)

Sea $n\geq 5 $ un entero positivo. Demuestra que el conjunto $\{1,2,...,n\}$ puede partirse en dos conjuntos no vacíos $S_n$ y $P_n$ de tal manera que la suma de los elementos de $S_n$ sea igual al producto de los elementos de $P_n$.

Teorema de las isogonales de Jacobi

Aquí pongo un teorema que me ha sido muy útil para concluir rápidamente varios problemas de geometría. Espero que les pueda ser de ayuda.

Teorema de las isogonales de Jacobi: Sea $ABC$ un triángulo, sobre los lados de éste se construyen triángulos $BPC, CQA$ y $ARB$ de tal manera que $\angle CAQ=\angle BAR$, $\angle ABR=\angle CBP$ y $\angle BCP=\angle ACQ$. Entonces las rectas $AP, BQ$ y $CR$ son concurrentes.

Problema 2 del día 14 de mayo (Jorge)

Pongo otro para los que ya habían visto el problema de combi que puse.
Este me pareció bonito:

Demuestra que, para toda función $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$, existen al menos dos números reales positivos $x,y$ tal que

$f(x+y)$<$yf(f(x))$

Problema del día 14 de Mayo (Centros)

Sean $a_1, a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que \[ \sum^{n}_{i = 1}a_{i}=\sum^{n}_{i = 1}\frac{1}{a_{i}^{2}}. \]

Demuestra que para cada $i=1,2,...,n$ podemos encontrar $i$ de los $n$ números cuya suma sea al menos $i$.

Problema del día sábado 14 de mayo (Jorge)

Sea $n$ un entero positivo, y sea $N=n^2+1$. Se tienen $N$ colores, cada cuadrito unitario de una cuadrícula de $N$x$N$ se colorea usando uno de los $N$ colores, de tal manera que cada color fue utilizado exactamente $N$ veces.

Demostrar que existe una columna o una fila en donde hay al menos $n+1$ colores distintos.

Problema del día (Centros)

Ayer no se podía postear por alguna razón, pero hoy si les dejo un problema:

A una fiesta asisten ocho personas. Se cuenta con cuatro mesas para acomodar a los invitados; en cada mesa debe haber exactamente dos personas. Se sabe que para cada persona $P$ en la fiesta hay a lo más tres invitados que son enemigos de $P$ (ser enemigo es mutuo). Demuestra que es posible acomodar a las personas en las cuatro mesas de tal forma que no haya enemigos en la misma mesa.

PROBLEMA DEL DIA: 12 DE MAYO (Manuel)

Pondré dos problemas que se me hicieron sencillos, pero que con una buena construcción salen en un instante:

1) Sean n y k enteros positivos. Están dadas n circunferencias, todas se intersectan dos a dos en un par distinto de puntos. Cada punto de intersección se pinta de uno de n colores distintos tal que cada color sea utilizado almenos una vez, y exactamente k colores distintos aparecen en cada circunferencia. Encuentra todos los valores de k para toda n$\geq$2 tal que haya una construcción posible.

2) Se tiene una gráfica completa de n vértices. Un paso es escoger un ciclo de longitud 4 (si existe alguno) y se le elimina una de las aristas que la conforma. Determina el menor número de aristas que se pueden dejar en la gráfica después de varios pasos.

Otro problema de números (Niño)

Este problema es de la lista corta de la IMO 2000. Está difícil, así que díganme si quieren una sugerencia.

Demuestra que la cantidad de enteros que no se pueden representar como suma de cuadrados perfectos distintos, es finito.


(Publicado originalmente el Miércoles 11 de Mayo)

Problemas con blogger

Parece ser que blogger tuvo algunos problemas en estos días y algunos posts se borraron, pondré otra vez los que se quedaron grabados en mi cuenta de Google Reader.

Problema de T.Numeros

Se borro asi que lo pondre de nuevo, junto a la solucion en los comentarios. Sean $b,n,m\in\mathbb{N}$, tal que $n\neq m$, $b\geq 2$, y para todo primo $p$ se cumpla que $p|b^n-1\Leftrightarrow p|b^m-1$. Demostrar que $b-1$ es potencia de dos.

Solución al problema del lunes

No se que paso pero no sale el problema de Georges, asi que lo pondre otravez y pondre mi solucion en los comentarios.

Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$, de tal manera que $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\geq 4$. Demostrar que

$$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{ac+1}{(a+c)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}\geq 4$$

Otro problema de números

Este problema es de la lista corta de la IMO 2000. Está difícil, así que díganme si quieren una sugerencia.

Demuestra que la cantidad de enteros que no se pueden representar como suma de cuadrados perfectos distintos, es finito.

Problema del día Miércoles 12 de Mayo (Diego)

Sea $ABC$ un triangulo. Los triangulos $PAB$ y $QAC$ estan afuera de $ABC$, construidos de tal manera que $AP=AB$ y $AQ=AC$ y $\angle BAP=\angle CAQ$. Los segmentos $BQ$ y $CP$ se intersectan en $R$. Sea $O$ el circuncentro de $BCR$. Demuestra que $AO$ y $PQ$ son perpendiculares.

En el interior de un triángulo $ABC$, con $AC\neq BC$, se toma un punto $X$. Sean $\alpha=\angle A$, $\beta=\angle B$, $\phi=\angle ACX$, $\delta=\angle BCX$. Pruebe que $X$ está en la mediana del triángulo $ABC$ por el vértice $C$ si y sólo si
$$
\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\sin\phi\sin\delta}{\sin(\phi-\delta)}.
$$

Algo de teoria...

Pues pensando en el problema que puse, una de las primeras ideas que se me ocurrio, y que de hecho fue util pensar en eso, pero que no resolvia el problema fue lo siguiente:
Sea $p$ un primo (no recuerdo si impar necesariamente) y $P(x)=ax^2+bx+c$ un polinomio con coeficientes enteros $a,b,c$ ($a$ no es cero), entonces hay solucion a $P(x)\equiv 0 \pmod{p}$ si y solo si $b^2-4ac$ es residuo cuadratico modulo $p$ o $p|b^2-4ac$
Creo que de alguna manera puedes serles util, a lo mejor ya se lo sabian o tal vez no, pero a mi me ha servido en varios problemas.

Problema del dia Martes 10 de Mayo (Flavio)

Este problema no lo he hecho, pero alguna vez lo intente un poco. Es del selectivo 2 para la IMO de Holanda del 2010 (bueno segun lo que entendi de su pagina):
El polinomio $A(x) = x^2 + ax + b$ con coeficientes enteros tiene la siguiente propiedad: Para cada primo $p$ hay un entero $k$ tal que $A(k)$ y $A(k + 1)$ son ambos divisibles por $p$. Prueba que hay un entero $m$ tal que $A(m) = A(m + 1) = 0$.

Problemas del día por IMOs

Por favor confirmen si es correcta la asignación de días en el blog para los IMOs

Lunes ----- Georges
Martes ---- Flavio
Miercoles ---- Diego
Jueves ---- Manuel
Viernes --- Daniel
Sabado ---- Garza

Me fije que Georges ya empezó este lunes, así que los lunes son de Georges.

Recuerden que pueden poner un problema, o otras cosas como alguna técnica o teoría que consideren los demás deben saber, en fin, cualquier cosa que les ayude a sus compañeros y lo mas importante que los mantenga activos.

Que opinan de que publique en Facebook sobre la publicación de todos estos problemas de preparación para la IMO?, quizás a alguien de la comunidad le interesaría ver que tipo de problemas resuelven los IMOs, quizás solo estar al tanto de que quienes no sean miembros del blog no puedan comentar.

Panda

Problema del día Lunes 9 de mayo (Georges)

Uno facilin para empezar la semana.
Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}\leq4 $.
Demuestra que \[ \frac{ab+1}{(a+b)^{2}}+\frac{bc+1}{(b+c)^{2}}+\frac{ca+1}{(c+a)^{2}}\geq 3. \]

Problema del día Martes 3 de mayo, 2011

Un problema fácil y no horrible (a diferencia de los de Hugo) para hoy.

Un pentágono convexo inscrito en un círculo de radio 1 tiene dos diagonales perpendiculares que se intersecan en el interior del pentágono. ¿Cuál es la máxima área que puede tener el pentágono?

No se supone que se ponen problemas de todas las áreas? Va casi un mes con pura geometría...

Problema del día Martes 26 de abril de 2011 - GEO

El incírculo del triángulo $ABC$ toca al lado $CA$ en $K$. Una segunda circunferencia $S$ con el mismo centro intersecta a cada lado del triángulo en dos puntos. Sean $E$ y $F$ las intersecciones con $AB$ y $BC$ más cercanas a $B$, sean $B_1$ y $B_2$ las intersecciones con $CA$ con $B_1$ más cercano a $A$. Finalmente, sea $P$ la intersección de $B_2E$ con $B_1F$. Muestra que los puntos $B$, $K$ y $P$ son colineales.

Entrenamiento de Geometría

¡Hola a todos!

¿Me pueden decir qué han visto de geometría en cada entrenamiento (teoría y tipos de problemas)? Es que al parecer los entrenamientos de Geometría han sido con personas distintas cada vez y la idea es llenar los huecos que haya ahora en mayo.

Problema del Día: Martes 19 de Abril de 2011

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre los segmentos $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que los triángulos $ABP$ y $ACQ$ sean acutángulos, y sean $R$ y $S$ sus respectivos ortocentros. Sea $T$ la intersección de $BP$ y $CQ$. Encuentre todos los valores de los ángulos $\angle CBP$ y $\angle BCQ$ tales que $RST$ es un triángulo equilátero.

Lounge Olimpico: Sabado 16 de Abril

En que han estado trabajando?


En esta ultima semana, en que han trabajado respecto de la Olimpiada? y si no han trabajado en cosas olimpicas, que otras cosas los han mantenido ocupados, platiquen !!

Problema del día (GEO)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Se eligen puntos $A_1,B_1,C_1$ en las alturas de $A,B$ y $C$, respetivamente, de manera tal que $(A_1BC)+(AB_1C)+(ABC_1)=(ABC)$. Demuestra que el circuncírculo de $A_1,B_1,C_1$ pasa por el ortocentro de $ABC$.

Problema del día

Les dejo este problema en lugar de la competencia de Invierno, a algunos ya se los había platicado alguna vez pero según yo nadie lo resolvió completo.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que

\[(f(n))^p\equiv n\pmod {f(p)}\]

para cualquier $n\in \mathbb{N}$ y $p$ primo.

¡Échenle ganas a los entrenamientos! ¡Les quedan tres meses antes de la IMO, en los que pueden aprender mucho si los aprovechan!

Listas de problemas

Hola a Todos:

Ya estamos en la recta final. Seis de ustedes, aquellos que se esfuercen más, lograrán ir a la IMO a representar a su país en una competencia de matemáticas. Felicidades por haber llegado hasta aquí y mucho éxito en los meses que faltan.

Como el año pasado, les dejo las listas de todos los problemas que han estado trabajando en el blog. Les dejo también la lista de problemas que se hicieron el año pasado para prepararse para la IMO y la Ibero:

http://ifile.it/53olp62 (Lista 2010)

http://ifile.it/swpn6jx (Lista 2011)

En teoría, deben de poder resolver casi todos los problemas de esta lista, pues aunque no los hayan resuelto, al menos sería bueno ver cómo lo hicieron sus compañeros. Sin contar los problemas de la competencia de invierno, llevamos $9$ problemas más que el año pasado.

¿Cómo van? ¿En qué creen que necesiten entrenar? Aún quedan algunas semanas para prepararse. Éxito!

Problema del día. Números en parejas

Determina si es posible ordenar los números $1$, $1$, $2$, $2$, $\ldots$, $n$, $n$ de modo que entre dos $j$ haya $j$ números (sin contar las $j$) para cuando $n=2000$, $n=2001$ y $n=2002$.

Por ejemplo, para $n=4$ el acomodo $41312432$ es válido.

Problema del Día: Martes 04 de abril de 2011

a) Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$. El incírculo de centro
$I$ toca a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$, respectivamente. Sea $M$ el
punto medio de $EF$ y sea $P$ el otro punto de intersección de
$AD$ con el incírculo. Pruebe que $PIMD$ es cíclico.

b) Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia
$\mathcal{C}$ de centro $O$. Sean $P,Q$ los puntos de intersección
de $\mathcal{C}$ con $AC$ y sean $E,F,G,H$ los puntos de tangencia
de $\mathcal{C}$ con los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.
Pruebe que los puntos medios de $EH$ y $FG$ están sobre el
circuncírculo del triángulo $POQ$.

Cuarto Entrenamiento

El cuarto entrenamiento donde se aplicaran los examenes selectivos para la IMO sera del 28 de abril al 8 de mayo en Cuernavaca Morelos, en el lugar de siempre, los Belenes (esta vez no habra fiestas que los interrumpan) Estoy viendo la manera mas eficaz de mandarles las calificaciones de marzo. Confirmen por este medio su asistencia por favor.

Cortes

Hola a Todos Despues de revisar los examenes de marzo, les mando la lista de las 9 personas que califican al entrenamiento de mayo (selectivos para la IMO) con la siguiente notacion nombre, puntuacion de marzo, p. de marzo * 1.44, Total Daniel 53 76.32 193.92 Flavio 50 72 189.6 Diego 48 69.12 180.92 Jorge G. V. 42 60.48 167.28 Georges 39 56.16 164.56 Nain 35 50.4 140.2 Jose Ra 28 40.32 133.12 Manuel A 28 40.32 129.92 Jorge G. C. 21 30.24 126.84 Las dos personas eliminadas son Enrique 13 18.72 121.12 Fernando 19 27.36 112.36

Algunos problemas interesantes de polinomios

Hola a todos.
Para una clase que estoy dando en la UNAM (Seminario de Resolución de Problemas), chequé algunas cosas de polinomios, y me encontré con algunos problemas bonitos y de dificultad distinta. Se los dejo a continuación para que practiquen lo que vieron con Carlitos.

1. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ y $a$ un entero. Muestra que $f(a)$ divide a $f(a+f(a))$. Muestra que si $f$ no es constante, entonces existe un $a\in \mathbb{Z}$ para el cual $f(a)$ no es primo. Muestra que $f(a)$ divide a $f(a+kf(a))$ para cualquier entero $k$.

2. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ de modo que hay una infinidad de valores enteros $a$ para los cuales $f(a)$ es primo. Muestra que $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$.

3. Un polinomio $p(x)$ de grado $n$ cumple que $p(i)=2^i$ para $i=0,1,\ldots, n$. Encuentra el valor de $p(n+1)$

4. Encuentra un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros de modo que para cada entero $n$ se tiene que $p(n)+4^n$ es divisible entre $27$.

5. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ y $a$ y $b$ dos enteros distintos con $\gcd(f(a), f(b))=1$. Muestra que existe una infinidad de enteros de modo que sus valores en $f$ son primos relativos por parejas.

6. Muestra que $f(x)=x^6-6x^5+15x^4+x^2-38x+37$ es un polinomio irreducible en $\mathbb{Z}[x]$.

7. Un punto en el plano es "mixto" si una de sus coordenadas es racional y la otra irracional. Encuentra todos los polinomios con coeficientes reales de modo que sus gráficas no tengan puntos mixtos.

8. Sean $x$, $y$ y $z$ reales con $x+y+z=0$. Muestra que:

$\frac{x^5+y^5+z^5}{5}=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{2}$

9. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$. Muestra que para cualquier entero positivo $k$ hay un $a$ entero para el cual $f(a)$ tiene al menos $k$ divisores primos distintos.

10. Sea $f$ un polinomio con coeficientes reales. Muestra que $f$ se puede escribir de la forma $f^2=g^2+h^2$ con $g$ y $h$ de coeficientes reales y grado distinto si y sólo si $f$ tiene raíces no reales.

11. Encuentra todos los $f\in \mathbb{Z}[x]$ de grado $n\geq 6$ para los cuales existen $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ enteros distintos con $f(a_i)^2=1$ para toda $i=1,2,\ldots, n$.

12. Sea $\alpha \in \mathbb{R}$ con $|\alpha|<1$. Sean $n>k\geq 0$ enteros. Muestra que todas las raíces (quizás complejas) de $x^n+\alpha x^{n-k}+\alpha x^k +1$ tienen norma $1$.

Siéntanse libres de hacer los que quieran y escribir su solución. Si terminan estos les pongo otros más difíciles : ).

Problema del día: Un poco de particiones

Sea $c(n)$ la cantidad de formas de escribir al entero positivo $n$ (sin contar el orden) como suma de enteros positivos, de modo que cualesquiera dos sumandos difieren al menos en dos. Sea $d(n)$ la cantidad de formas de escribir $n$ (sin contar el orden) como suma de algunos enteros positivos de la forma $5k+1$ o $5k-1$.

Por ejemplo, $c(10)=6$, pues $10=9+1=8+2=7+3=6+4=6+3+1$ (nota que estamos contando $10$ como una forma) y $d(10)=6$, pues $10=9+1=6+4=6+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1$
$=4+1+1+1+1+1+1=4+4+1$ (aquí no cuenta $10$ pues no es de la forma deseada).

Muestra que para todo entero positivo $n$ se tiene $c(n)=d(n)$.

Problema del día: Jueves 31 de marzo del 2011, Algebra

Sean $x$ y $y$ numeros reales con $y \geq 0$. Muestra que si
$y(y + 1) \leq (x + 1)^2$, entonces $y(y-1) \leq x^2$.

Problema del día - Martes 29 de marzo de 2011 - GEO

El triángulo $ABC$ tiene excentros $I_a$, $I_b$, $I_c$. Los ortocentros de los triángulos $I_aBC$, $I_bCA$ e $I_cAB$ son $H_a$, $H_b$ y $H_c$, respectivamente. Muestra que las líneas $AH_a$, $BH_b$ y $CH_c$ concurren y que el punto de concurrencia está sobre la línea que une el incentro y el gravicentro del triángulo $ABC$.

¿¿¿???

Habrá algo así como competencia de primavera, o los lunes estará vacío el blog o se va a subir problemas

El cuadrado de 2x2

Hola a todos. Si recuerdan, cuando fue el entrenamiento en Guanajuato les puse un problema por el cual invitaba una cena de 50 pesos al primero en resolverlo. El problema consistía en ver que si 9 puntos se colocan en un cuadrado de $2\times 2$, entonces hay dos de ellos a distancia menor o igual a $1$. El problema salió en el Crux Mathematicorum de hace algunos años y citaban como fuente original al concurso de San Petesburgo, sin embargo no daban solución.

Tras dos días intensos de intentarlo y de varias falsas alarmas de resolverlo, finalmente Yogui y yo llegamos a una solución que iteraba un proceso para encontrar cuadros más pequeños en los cuales se encontraban los puntos. Les escribo para contarles que encontré finalmente una solución en internet, y resulta que es básicamente lo que nosotros hacíamos. La pueden leer con calma en http://cms.math.ca/cmb/v8/cmb1965v08.0273-0277.pdf . Les advierto que es fea para estándares olímpicos, pero está padre saber cómo se hace ese problema.

Ahora, ¿por qué esto llegó a una olimpiada rusa? Ahí si no tengo ni idea.

Saludos

Lounge Olímpico: La fuerza de su pasión

Y aquí estoy escribiendo un lounge mas, quiero pensar que lo escribo dirigido a nuestros queridos olímpicos, pero la realidad es que al final de cuentas lo escribo mas por mi, por mi deseo de expresarme en este foro, de ventilar algunas ideas, creo que es sano psicologicamente : )  .
No les voy a mentir, la razón por la que ya no había puesto posts en el lounge, es porque la participación era mínima, los que si participaban, participaban excelentemente, Jorge Chuck, Manuel, Fernando, Karina, pero la mayoría quizás ni siquiera lo leían y si lo leían no los motivaba lo suficiente como para participar, la ultima vez que lo pusimos el 12 de Febrero, tanto Rogelio como yo pusimos un post y un gran total de 3 olímpicos participaron entre los 2 posts. Claramente no les llamaba lo suficientemente la atención como para motivarlos a participar; y pues el hecho de que la mayoría de ustedes no participen por x o y o z razón nos desmotiva a nosotros.
Los problemas del día tienen mas participación, pero no la suficiente que esperaríamos de una selección mexicana preparándose para la IMO, hay un grupo que trabaja excelentemente y claramente esta motivado, mientras que otro grupo brilla por su ausencia y solo son seleccionados en época de entrenamientos, cuando viajan a Colima o Guanajuato o Morelia; es como si en la selección nacional de fútbol hubiera algunos que deciden nomas echarle ganas ahí de vez en cuando; ¿creen que el cuerpo técnico de la selección mantendría en el equipo (por mas buenos jugadores que fueran) a seleccionados que tuvieran esa actitud de no dar el 100% y solo comportarse como seleccionados nacionales ahí de vez en vez?.
La competencia de invierno es la que mas participación tiene de las cosas del blog, quizás por el formato sea mas entretenida y también la participación es mas fácil, y por lo tanto es fácil motivarse.
Todo esto me lleva a la reflexión de que es lo que nos motiva, que es lo que nos mueve a participar; y no solo lo digo por ustedes los olímpicos, sino también por nosotros los entrenadores y comité; ¿cuales son las fuerzas que nos mantienen activos?, ¿para que hacer las cosas?

Desde el entrenamiento de Colima traía ya esta reflexión, para mi fue un periodo difícil, pues a pesar de que me encanta ir a los entrenamientos nacionales, a finales de Enero estaba pasando por un periodo complicado, eso aunado a unos medicamentos que me cambiaron un poco antes del entrenamiento y que prácticamente me traían funcionando al 25%, (con dificultad me podía concentrar, la mayor parte del tiempo andaba mareado y mi mente divagando), estando allá me preguntaba, que demonios ando haciendo aquí?, no me siento bien física ni emocionalmente, ademas podría estar en la tranquilidad de mi casa, reposando y haciendo esas pequeñas cosas de la rutina diaria que adoro con mi esposa, con mis niños. ¿Cual es la fuerza que me hizo asistir a pesar de los inconvenientes?
Parte de la razón es que la olimpiada es una especie de droga, los que hemos estado mucho tiempo expuestos a ella no la podemos dejar y la necesitamos así como el borracho necesita su trago y parte también es el sentimiento de trascendencia, esa parte de nosotros los humanos que espera hacer cambios importantes, estar presente y poner tu granito de arena en algo que consideras tiene una trascendencia mas allá de ti, es difícil definirlo, pero cuando llegas a estar en la situación trascendental, la reconoces, te dejas llevar por su fuerza arrolladora y simplemente tratas de hacer tu parte.
Ustedes se han preguntado, ¿porque hay un grupo grande de gente trabajando montones de horas para que la Olimpiada funcione?, que es lo que mueve a Mila a trabajar incansablemente durante años y años, a Ana, a Toño, a Rogelio; a todos los muchachos del comité, a Fernando, al Niño, a Leonardo, al Chino, al Gato, a Hugo, a Jeronimo, a Octavio, a Irving y a tantos mas de los cuales depende que todas y cada una de las etapas de la olimpiada funcione, desde los concursos regionales hasta llegar a la Internacional. ¿Han pensado en todo el trabajo que se hace por cientos de personas para que ustedes puedan llegar a la IMO?, ¿Que es lo que mantiene motivado a ese conjunto enorme de gente?, porque Mila de repente no dice, "ahora no tengo ganas de conseguir presupuesto para el nacional de este año, o solo conseguí una parte, así que pues al nacional nomas van los estados que empiecen de la A a la M", "ni ganas de conseguir lana para los entrenamientos de los IMOs, así que, pues fácil, que no haya entrenamientos; y pues a ver si ando de humor para conseguir el presupuesto para ir a la IMO, si no, pues que no vaya México este año", o Rogelio, "ando cansadon, se me hace que estos entrenamientos de Mayo no los organizamos", o al Niño, o Fernando o Leonardo o cualquiera de los que les han revisado problemas, porque no dicen, "bueno, tengo que revisar 16 exámenes, pero como que nomas traigo energía para revisar 4, así que pues nada mas reviso 4"
Algunos de ustedes seguramente tienen sus razones para solo tener "ganas" o energía para hacer 3 de 24 problemas del día en el blog, o algunos CERO (cero !!!!, han hecho tantos problemas del blog como Shakira o Lady Gaga), porque pues son gente muy ocupada, a su edad y ya tienen múltiples ocupaciones y preocupaciones que les impiden trabajar lo suficiente en los problemas. Múltiples ocupaciones que al parecer no tienen gente mucho mas grande que ustedes, muchos de ellos estudiando la Universidad y trabajando y muchos otros con trabajos de tiempo completo y familia a la que no solo le tienen que proveer sustento, sino también dedicar tiempo. Por alguna razón las cosas parecen estar alreves, parece ser que se tienen muchas mas ocupaciones y preocupaciones a los 17 años, que a los 21, 25, 35, 40, 55 etc.

Claramente soy irónico, pero aguantenme un poco, puede parecer que se las estoy regando, .............. bueno, si se las estoy regando; pero hacia donde voy es hacia llevarlos al lugar que es permita encontrar sus verdaderas motivaciones, ¿que es lo que los mueve?, ¿porque están en la Olimpiada? ¿que es lo que si los hace trabajar apasionadamente y echarle todos los kilos?.
Así como les pedí que pensaran por un rato que es lo que mueve a Mila, a Rogelio, a todo esa gente que le dedica tiempo generosamente a la Olimpiada, piensen en profundidad cuales son sus motivaciones para ser olímpicos, que tipo de seleccionados son?, porque algunos de ustedes son seleccionados mexicanos de tiempo parcial?, que les hace falta para dar ese salto y convertirse en seleccionados de tiempo completo?

Bueno, este lounge ha estado muy largo y algunos ni lo leerán. Les mando un saludo a los que han logrado leer hasta aquí, si lo hicieron y el post los motivo a pensar algo, comenten !!!! (o de perdido escriban CARPE DIEM para saber que llegaron hasta aquí)
Yo creo que ustedes y nosotros tenemos claro a diferentes niveles que estamos en medio de algo especial, de alguna o de otra forma intuimos que la Olimpiada es algo trascendente y que en particular este año se van a lograr grandes cosas; y todos queremos hacer nuestra parte, por muy chica que esta sea.
Ustedes están realmente dispuestos a hacer la suya? sin excusas ni pretextos, sin llorar.
Recuerden muchachos, la fuerza de su pasión es la que determinara el nivel de su éxito. Todo aquello que nos apasionada lo hacemos con muchas ganas, le dedicamos todo el tiempo del mundo, se nos pasa el tiempo haciéndolo y ni lo sentimos, vivimos por nuestra pasión !!, quizás algunos de ustedes lo han empezado a ver como obligación y quizás sea tiempo de que re-descubran su amor por solucionar problemas olímpicos. Dejen fluir su pasión y disfruten el momento.

LA FUERZA DE SU PASIÓN ES LA QUE DETERMINARA EL NIVEL DE SU ÉXITO

Resultados APMO

Los siguientes 10 examenes se mandaran a Japon

Daniel Perales 7 7 0 4 2 20
Flavio Hernandez 7 7 2 0 2 18
Diego Roque 0 7 7 0 2 16
Georges Belanger 7 0 2 4 2 15
Fernando Añorve 7 7 0 0 0 14
Adan Medrano 7 7 0 0 0 14
Joshua Acevedo 7 7 0 0 0 14
Jose Nain Rivera 7 3 0 0 0 10
Angel A. Dominguez 7 3 0 0 0 10
Juan Carlos Ortiz 7 1 0 0 2 10

Los demas resultados

Jorge Garza 0 7 2 0 0 9
Ramon Garcia 2 6 0 0 0 8
Jose Ramon Guardiola 0 7 0 0 1 8
Jose Angel Sanchez 0 7 0 0 0 7
Marco Antonio Flores 0 7 0 0 0 7
Julio Cesar Diaz 0 3 0 0 2 5
Enrique Chiu 0 3 2 0 0 5
Jorge I. Gonzalez 0 3 0 0 1 4
Manuel A. Espinoza 0 1 0 0 1 2
Alberto Astiazaran 0 1 0 0 0 1
Angel G. Cervantes 0 0 0 0 0 0

Problema del Día: Martes 22 de marzo de 2011

Sea $ABC$ un triángulo, con $\langle BAC = 60^\circ$. Sean $P,Q$ los pies de las perpendiculares desde $A$ a las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$, respectivamente. Si $BP=104$ y $CP=105$, ¿Cuál es el perímetro del triángulo $ABC?

Problema del Día: n-adas separadas

Sea $X$ un conjunto con $n+1$ elementos ($n\geq 2$). Las $n-$adas ordenadas $(a_1,a_2,\ldots, a_n)$ y $(b_1,b_2,\ldots, b_n)$, cada una con todos sus elementos distintos, se les llama separadas si existen índices $i\neq j$ tales que $a_i=b_j$. Encuentra el máximo número de $n-$adas de modo que cualesquiera $2$ sean separadas.

Examen 8

Problema 1. Sea $S$ el conjunto más chico de enteros con la propiedad de que $0\in S$ y si $n \in S$ entonces $3n$ y $3n+1$ también están en $S$. Determina cuántos enteros no negativos menores que 2008 hay en $S$.


Problema 2. Sea $P$ un polinomio de grado $n$ tal que para k=0,1,2,…,n, P(k)=2^k. Determina el valor de $P(n+1)$.


Problema 3. Cuatro circunferencias de radios iguales $\omega , \omega _A, \omega _B$ y $\omega _C$ se dibujan en el interior de un triángulo $ABC$ de tal forma que $\omega _A$ es tangente a $AB$ y $AC$, $\omega _B$ es tangente a $BC$ y $BA$, $\omega _C$ es tangete a $CA$ y $CB$ y $\omega$ es tangente exteriormente a las otras tres circunferencias. Si los lados de $ABC$ miden 13, 14 y 15, determina el radio de $\omega$.


Problema 4. La función $f$ satisface
\[ f(x)+f(2x+y)+5xy=f(3x-y)+2x^2+1\]
Determina $f(10)$.


Problema 5. Para cada permutación a_1, a_2,…, a_{100} de los enteros 1, 2,…, 100, se considera la suma |a_1-a_2|+|a_3-a_4|+…+|a_{99}-a_{100}|. Encuentra la media aritmética de todas estas sumas.


Problema 6. Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Sea $P$ un punto en el lado $AC$ tal que $AP=2CP$. Si $BP=1$ detérmina el valor máximo del área de $ABC$.

Problema 7. Dado que $2^{2004}$ es un número de 604 dígitos cuyo primer dígito (de la izquierda) es 1, ¿cuántos elementos del conjunto { 2^0, 2^1,…,2^{2003} } tienen primer dígito 4?

Problema 8. Una línea que pasa por un vértice de un triángulo no degenerado corta a éste en dos triángulos semejantes, en los que la razón de semejanza entre los lados correspondientes es $\sqrt{3}$. Determina los ángulos del triángulo original.


Problema 9. Una sucesión de enteros se define como $a_1=a_2=a_3=1$ y para todo entero positivo $n$, $a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n}$. Dado que $a_{28}=6090307$, $a_{29}=11201821$ y $a_{30}=20603361$, encuentra los tres últimos dígitos de a_1+a_2+…+a_{28}.


Problema 10. Sean $a,b,c$ números reales distintos de 0 tales que $a+b+c=0$ y $a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3$. Determina el valor de $a^2+b^2+c^2$.


Problema 11. Para un entero positivo $n$ sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Sea S(n) = d(1)+d(2)+…+d(n). Sea $a$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ impar y $b$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ par. Calcula $|a-b|$.


Problema 12. Sea $a_k= \frac{k^2- \frac{1}{2}}{k^4+ \frac{1}{4}}$. Calcula a_1+a_2+…+a_500.


Problema 13. ¿Para cuántos k=0,1,..,2011 se tiene que “combinaciones de 2011 en $k$” ($2011$ en $k$ ) es un número impar?

Problema 14. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ es posible partir el conjunto { n, n+1,…, n+8 } en dos conjuntos $A$ y $B$ tales que el producto de los elementos de $A$ es igual al producto de los elementos de $B$?


Problema 15. Encuentra todos los reales $x$ que satisfagan $\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x+1} =0$.

Competencias de invierno

Empezará 10 min más tade, a las 9:40!

RECORDATORIO: Competencia de Invierno

Les recuerdo que hoy si habrá examen de Competencia de Invierno, será a las 9:30 hora del centro, esta vez tendrán 45 minutos!

Problema del Día - 18 de marzo (NUM)

Un número capicua en base $b$ es un entero positivo cuyos dígitos en base $b$ se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, $2002$ es un $4$-dígitos capicua en base $10$. Nota que $200$ no es capicua en base $10$, pero es un $3$-dígitos capicua en base $9$ ($200 = 242$ en base $9$) y un $3$-dígitos capicua en base $7$ ($200 = 404$ en base 7). Demuestra que existe un entero que es 3-dígitos capicua en base $b$ para al menos $2002$ diferentes valores de $b$.

Participación en Problemas del día

Aquí están las tablas de su participación en los problemas del día, en azul los resultados van de buena (4) a excelente (6), en verde de mínimo satisfactorio (2) a aceptable (3) y en rojo de completamente inaceptable (0) a mediocre (1). Déjenme saber si hay alguna aclaración.

David

Problemas del día Miércoles 16: Diferencias 4, 5, 9 y sucesión.

a) Se tienen 70 números positivos distintos entre 1 y 200. Muestra que hay dos de ellos a diferencia $4$, $5$ ó $9$.

b) Se tiene la sucesión $1 = a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$ de enteros, de modo que $a_{n+1}\leq 2n$ para cualquier $n$ entero positivo. Muestra que cualquier entero positivo es diferencia de dos términos de la sucesión.

Problema del día: Jueves 17 de marzo del 2011, Algebra

Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que para cualquier numero racional $r$, la ecuacion $P(x)=r$ tiene una solucion racional.

Problema del Día: Martes 15 de marzo de 2011

Sea $ABC$ un triángulo, $L,M,N$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, y sean $X,Y,Z$ los puntos medios de las alturas desde $A,B,C$, respectivamente.

Pruebe que $LX,MY,NZ$ concurren en el punto simediano del triángulo $ABC$.

Participaciones en la Competencia de Invierno (primeros 7 exámenes)

En azul un numero de participaciones excelente, en verde seria aceptable y en rojo mediocre.

Déjenme saber si sus participaciones son correctas.

David

Competencia de Invierno: Examen #7 (1 hora)

Recuerden el codigo de honor !!!!!!!!!!!!!

1- Dada una función  para la cualse cumple para todo real  cual es el numero mas grande de valor3s diferentes que pueden aparecer en la lista 

2- Sea  la suma de todos los numeros de la forma donde  y  son primos relativos divisores positivos de  Cual es el entero mas grande que no se pasa de  ?

3- En el triangulo  es dado que los angulos  y  son congruentes. Los puntos  y  yacen en   y  respectivamente, de tal forma que  El angulo  es  veces tan grande como el angulo  donde  es un numero real positivo. Encontrar el mayor entero que no se pasa de .